# 等比数列求和计算器 — 第n项与无穷级数之和

> 计算第 n 项 a·rⁿ⁻¹、前 n 项和 Sₙ 及 |r|<1 时的无穷级数之和 a/(1−r)，并展示求解步骤与收敛性。

- **Category:** 数学
- **Interactive calculator:** https://youcalc.com/zh/math/geometric-series-sum/
- **Price:** Free, no sign-up required

## Overview

该计算器用于等比数列——每一项等于前一项乘以固定公比 r，从首项 a 开始。输入 a、r 和项数 n，即可立即看到第 n 项 aₙ、前 n 项之和 Sₙ，以及当数列收敛时的无穷级数之和 S∞。

## How to read your result

结果卡顶部显示前 n 项之和 Sₙ，下方依次是第 n 项（最后一项）aₙ = a·rⁿ⁻¹ 和无穷级数之和。只有当 |r| < 1 时，无穷级数之和才是有限数——这是各项以足够快的速度趋向于零、使总和稳定的条件；若 |r| ≥ 1，数列发散，计算器会直接说明这一点，而不是输出一个误导性的数值。下方的求解过程将您的值代入每个封闭公式，以便逐步核查。

## Method

第 n 项通过封闭公式 aₙ = a·rⁿ⁻¹ 计算。前 n 项和在 r ≠ 1 时使用 Sₙ = a·(1 − rⁿ)/(1 − r)，当 r = 1 时回退至 Sₙ = n·a 以避免除以零。无穷级数之和 S∞ = a/(1 − r) 仅在 |r| < 1（等比数列收敛的标准条件）时给出；否则计算器说明数列发散而非输出一个数值。这些公式及收敛条件均由 Wolfram MathWorld 和维基百科记录。

## Example

- **Setup:** 输入 a = 1，r = 2，n = 10（数列 1 + 2 + 4 + … + 512）。
- **Result:** 第 n 项为 a₁₀ = 1·2⁹ = 512，前 n 项和为 S₁₀ = 1·(1 − 2¹⁰)/(1 − 2) = 1023。由于 |r| = 2 ≥ 1，数列发散，不存在无穷级数之和。改为 r = 0.5，无穷级数之和变为 a/(1 − r) = 1/0.5 = 2。

## Frequently asked questions

### 等比数列何时存在无穷级数之和？

等比数列收敛于有限的无穷级数之和，当且仅当公比满足 |r| < 1。此时 S∞ = a/(1 − r)。当 |r| ≥ 1——包括 r = 1 和 r = −1——各项不趋向于零，前 n 项和持续增长或震荡，不存在有限总和，称该数列发散。

### 第 n 项与前 n 项和有什么区别？

第 n 项 aₙ = a·rⁿ⁻¹ 是单个项的值——数列中第 n 个元素。前 n 项和 Sₙ 将前 n 项相加：r ≠ 1 时 Sₙ = a·(1 − rⁿ)/(1 − r)，r = 1 时则为 n·a。因此 aₙ 是列表中的一个数，而 Sₙ 是到该点为止的累计总和。

### 首项或公比可以为负数吗？

可以。首项 a 和公比 r 可以是任意有限数，包括负数和分数。负公比使各项符号交替出现（例如 1，−2，4，−8…）。封闭公式适用于所有情况；无穷级数之和有限的唯一条件仍是 |r| < 1。

### 为什么 r = 1 时公式会改变？

前 n 项和通用公式 Sₙ = a·(1 − rⁿ)/(1 − r) 需要除以 (1 − r)，而 r = 1 时该值为零。此时每项均等于 a，因此总和即为 a 的 n 倍：Sₙ = n·a。计算器会检测 r = 1 并自动使用该特殊情形。

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## Sources

- https://mathworld.wolfram.com/GeometricSeries.html
- https://en.wikipedia.org/wiki/Geometric_series

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