# 指数增长与衰减计算器——倍增时间与半衰期

> 指数增长或衰减计算器，支持 N₀·e^{kt} 与 N₀·(1±r)^t 模型。计算任意时刻的数值、倍增时间或半衰期，并绘制变化曲线。免费即时。

- **Category:** 数学
- **Interactive calculator:** https://youcalc.com/zh/math/exponential-growth-decay/
- **Price:** Free, no sign-up required

## Overview

本计算器使用离散公式 N₀·(1 + r)^t 或连续公式 N₀·e^{kt} 来建模指数增长与衰减。用它来预测人口增长、放射性衰变、复利收益、病毒式传播，或任何每个周期都按固定倍数变化的量。

## How to read your result

醒目数字是你所输入时间点处的计算值。其下方的结果卡片显示每周期的乘数（底数）、增长时的倍增时间或衰减时的半衰期，以及相对起始量的净变化。折线图绘制从 t = 0 到你所选时间的曲线，让你看清这个量加速上升或递减的陡峭程度。

## Method

对于离散模型，时间 t 处的值为 N(t) = N₀·(1 + r)^t，其中 N₀ 是起始量，r 是每周期的增长率。对于连续模型，则为 N(t) = N₀·e^{kt}，其中 k 是连续增长常数。两者都归结为统一形式 N₀·b^t，底数 b = (1 + r) 或 b = e^k。倍增时间和半衰期由条件 b^T = 2（或 ½）推导得出，即 T = ln(2) / ln(b)。

## Example

- **Setup:** 从 500 开始，按每周期 8% 的离散增长率应用 12 个周期。
- **Result:** 最终值约为 1,259——每周期的底数乘数为 1.08，倍增时间约为 9 个周期。这个量仅用 12 步就从 500 增长到了两倍以上。

## Frequently asked questions

### 我应该在什么时候使用连续模型而不是离散模型？

当增长或衰减不间断发生时使用连续模型——例如放射性衰变、理想条件下的细菌生长，或连续复利的金融收益。当变化以离散步骤发生时使用离散模型，例如逐年的人口普查或逐期的投资收益。

### 什么是倍增时间，它是如何计算的？

倍增时间是该量翻倍所需的周期数。对于离散模型，它等于 ln(2) / ln(1 + r)；对于连续模型，它等于 ln(2) / k。增长率越高，倍增时间越短——在每周期 10% 时，该量大约在 7.3 个周期内翻倍。

### 我可以把它用于衰减吗，什么是半衰期？

可以。在任一模型中输入负的增长率，计算器就会切换到衰减模式。半衰期是该量降至其当前值一半所需的时间。它的计算方式与倍增时间相同，但使用增长率的绝对值：连续模型为 ln(2) / |k|，离散模型为 ln(2) / |ln(底数)|。

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## Sources

- https://dlmf.nist.gov/4.2
- https://openstax.org/books/precalculus-2e/pages/6-7-exponential-and-logarithmic-models
- https://www.khanacademy.org/math/algebra/x2f8bb11595b61c86:exponential-growth-decay

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Interactive version: https://youcalc.com/zh/math/exponential-growth-decay/ · From YouCalc — https://youcalc.com