# 等差数列计算器——通项与求和 > 由首项、公差和项数求等差数列的通项与前 n 项之和，附公式推导与解题步骤。免费。 - **Category:** 数学 - **Interactive calculator:** https://youcalc.com/zh/math/arithmetic-progression-calculator/ - **Price:** Free, no sign-up required ## Overview 等差数列是一组数，其中每一项都比前一项多一个固定的量——公差 d。在本计算器中输入首项 a₁、公差 d 和项数 n，即可得到通项 aₙ、前 n 项之和 Sₙ，以及数列的预览。支持递增数列（d 为正）、递减数列（d 为负）和常数列（d = 0），首项与公差可以是整数或小数。 ## How to read your result 页面最显眼的数字是求和 Sₙ——将前 n 项全部相加的结果。旁边是通项 aₙ，即该组数列最后一项的值。数列预览按顺序列出开头若干项，方便你一眼看出规律；当 n 较大时预览会截断，但 aₙ 始终显示数列的终点。解题步骤面板将你的数字代入两个公式，让你可以逐步核对每一步。 ## Method 等差数列的通项公式为 aₙ = a₁ + (n − 1)·d，因为从首项 a₁ 出发，共加了 (n − 1) 次公差 d 才到达第 n 项。前 n 项的求和公式——等差级数——等于项数乘以首项与末项的平均值：Sₙ = n·(a₁ + aₙ) / 2。将 aₙ 代入可得等价的封闭形式：Sₙ = n/2·(2·a₁ + (n − 1)·d)。项数 n 必须为正整数；首项 a₁ 和公差 d 可以是任意实数，包括负数和小数。 ## Example - **Setup:** 首项 a₁ = 2，公差 d = 3，项数 n = 10。 - **Result:** 数列为 2、5、8、11、14、17、20、23、26、29。第 10 项为 a₁₀ = 2 + (10 − 1)·3 = 29，前十项之和为 S₁₀ = 10·(2 + 29) / 2 = 155。 ## Frequently asked questions ### 通项与求和有什么区别？ 通项 aₙ 是单个数值——数列第 n 位置上的那个数——由 aₙ = a₁ + (n − 1)·d 计算得出。求和 Sₙ 是将第 1 项到第 n 项全部加起来的结果：Sₙ = n·(a₁ + aₙ) / 2。以 a₁ = 2、d = 3、n = 10 为例，第 10 项为 29，而十项之和为 155。 ### 如何求公差？ 公差 d 是任意相邻两项之差，用后一项减前一项即可：d = a₂ − a₁ = a₃ − a₂，依此类推。若相邻项之差不恒定，则该数列不是等差数列。d 为正时数列递增，d 为负时数列递减，d = 0 时为常数列，每项均等于 a₁。 ### 公差或各项可以是负数或小数吗？ 可以。首项 a₁ 和公差 d 可以是任意实数——负数、零或小数。当 a₁ = 5、d = −2 时，数列递减：5、3、1、−1、……。只有项数 n 有限制：必须是 1 或以上的正整数，因为项数不能是分数。 ### 求和公式为什么是 n·(a₁ + aₙ) / 2？ 将第一项与最后一项配对、第二项与倒数第二项配对，以此类推，每对之和均为 a₁ + aₙ。共有 n/2 对，因此总和为 n·(a₁ + aₙ) / 2——这一技巧据说源自卡尔·弗里德里希·高斯，他将 1 到 100 的求和拆成 50 对 101，得到 5050。 ## Related calculators - [等比数列求和计算器](https://youcalc.com/zh/math/geometric-series-sum/) - [指数计算器——正负指数与分数指数（开方）](https://youcalc.com/zh/math/exponent-calculator/) - [一元二次方程求解器](https://youcalc.com/zh/math/quadratic-equation/) - [黄金比例计算器](https://youcalc.com/zh/math/golden-ratio-calculator/) - [圆形计算器——半径、直径、周长、面积](https://youcalc.com/zh/math/circle-calculator/) - [百分比计算器](https://youcalc.com/zh/math/percentage/) ## Sources - https://mathworld.wolfram.com/ArithmeticSeries.html - https://en.wikipedia.org/wiki/Arithmetic_progression --- Interactive version: https://youcalc.com/zh/math/arithmetic-progression-calculator/ · From YouCalc — https://youcalc.com