# مساواتوں کا نظام حل کرنے والا — 2×2 اور 3×3 مراحل کے ساتھ

> کریمر کے قاعدے اور ڈیٹرمیننٹ سے 2×2 اور 3×3 خطی نظام حل کریں۔ منفرد حل دیکھیں، یا یہ کہ نظام کا کوئی حل نہیں یا لامحدود حل ہیں، گراف کے ساتھ۔

- **Category:** ریاضی
- **Interactive calculator:** https://youcalc.com/ur/math/system-of-equations/
- **Price:** Free, no sign-up required

## Overview

یہ کیلکولیٹر 2×2 یا 3×3 خطی مساواتوں کا نظام حل کرتا ہے اور بتاتا ہے کہ اس کا ایک منفرد حل ہے، کوئی حل نہیں، یا لامحدود حل ہیں۔ اسے ہوم ورک جانچنے، ہاتھ سے کیے گئے نظام کی تصدیق کرنے، یا یہ دیکھنے کے لیے استعمال کریں کہ کسی ضریب کو بدلنے سے خطوط یا ہوائی جہازوں کا تقاطع کیسے بدلتا ہے۔

## How to read your result

نتیجہ کارڈ یا تو صحیح حل (x، y اور اختیاری z) یا نظام کی درجہ بندی ظاہر کرتا ہے — منفرد، کوئی نہیں، یا لامحدود۔ کارڈ کے نیچے مرحلہ وار خلاصہ ضریبی میٹرکس کا ڈیٹرمیننٹ اور ہر متغیر کو کریمر کے قاعدے سے کیسے نکالا گیا دکھاتا ہے۔ 2×2 نظاموں کے لیے احداثی ہوائی جہاز کا گراف دونوں خطوط کو ظاہر کرتا ہے تاکہ آپ ان کا تقاطع فوری دیکھ سکیں۔

## Method

حل کنندہ n×n ضریبی میٹرکس A اور ثابت ویکٹر b کو ان پٹ قطاروں سے نکالتا ہے۔ یہ cofactor expansion سے det(A) حساب کرتا ہے (کریمر کے قاعدے کے انسداد A کے ہر کالم کو b سے بدل کر ملتے ہیں)۔ نظام کی درجہ بندی A کی ترتیب کا بڑھی ہوئی میٹرکس [A|b] کی ترتیب سے موازنہ کرکے جزوی محور کے ساتھ Gaussian elimination کے ذریعے طے کی جاتی ہے: rank(A) = rank([A|b]) = n منفرد حل ہے، rank(A) = rank([A|b]) < n لامحدود حل ہیں، rank(A) < rank([A|b]) کوئی حل نہیں۔ ماخذ: Wolfram MathWorld؛ Khan Academy۔

## Example

- **Setup:** 2×2 نظام درج کریں: مساوات 1 یعنی x + y = 5 اور مساوات 2 یعنی x - y = 1 (ضرائب 1، 1، 5 اور 1، -1، 1)۔
- **Result:** ضریبی میٹرکس کا ڈیٹرمیننٹ -2 ہے۔ کریمر کے قاعدے سے x = -6 / -2 = 3 اور y = -4 / -2 = 2 ملتا ہے، اس لیے منفرد حل x = 3، y = 2 ہے۔ گراف دونوں خطوط کو (3، 2) پر ملتا دکھاتا ہے۔

## Frequently asked questions

### ڈیٹرمیننٹ کا صفر ہونا کیا معنی رکھتا ہے؟

صفر ڈیٹرمیننٹ کا مطلب ہے کہ مساوات آزاد نہیں ہیں۔ کیلکولیٹر پھر بڑھی ہوئی میٹرکس جانچتا ہے: اگر اس کی ترتیب ضریبی میٹرکس سے مطابقت رکھے تو خطوط (یا ہوائی جہاز) ملتے ہیں اور لامحدود حل ہیں؛ اگر ترتیبیں مختلف ہوں تو نظام متضاد ہے اور کوئی حل نہیں۔

### کریمر کا قاعدہ کیا ہے اور یہ کب لاگو ہوتا ہے؟

کریمر کا قاعدہ ہر متغیر کو ڈیٹرمیننٹس کے تناسب کے طور پر ظاہر کرتا ہے — انسداد ضریبی میٹرکس میں متغیر کے کالم کو ثابت حدوں سے بدل دیتا ہے، اور مخرج ضریبی میٹرکس کا ڈیٹرمیننٹ ہے۔ یہ صرف اس وقت لاگو ہوتا ہے جب ڈیٹرمیننٹ غیر صفر ہو، یعنی جب نظام کا بالکل ایک حل ہو۔

### کیا میں کسری یا اعشاری ضرائب والا نظام حل کر سکتا ہوں؟

ہاں۔ ہر ضریب سیل کوئی بھی محدود اعشاری عدد قبول کرتا ہے۔ حل کنندہ ڈبل درستگی فلوٹنگ پوائنٹ ریاضی میں قریب صفر محور کے لیے ایک چھوٹی رواداری کے ساتھ کام کرتا ہے، اس لیے نتائج عام ہوم ورک سوالات اور اچھی طرح مشروط انجینیرنگ نظاموں کے لیے درست ہیں۔

## Related calculators

- [میٹرکس کیلکولیٹر](https://youcalc.com/ur/math/matrix-operations/)
- [کواڈریٹک مساوات حل کرنے والا](https://youcalc.com/ur/math/quadratic-equation/)
- [سلوپ اور لائن مساوات کیلکولیٹر](https://youcalc.com/ur/math/slope-line-equation/)

## Sources

- https://mathworld.wolfram.com/LinearSystemofEquations.html
- https://www.khanacademy.org/math/algebra/x2f8bb11595b61c86:systems-of-equations/x2f8bb11595b61c86:solving-systems-elimination/a/elimination-method-review

---

Interactive version: https://youcalc.com/ur/math/system-of-equations/ · From YouCalc — https://youcalc.com