# ہندسی سلسلے کا مجموعہ — n-واں حد اور S∞

> a·rⁿ⁻¹ سے n-واں حد، جزوی مجموعہ Sₙ، اور |r|<1 پر a/(1−r) کا لامحدود مجموعہ حاصل کریں — مکمل حل کے ساتھ۔

- **Category:** ریاضی
- **Interactive calculator:** https://youcalc.com/ur/math/geometric-series-sum/
- **Price:** Free, no sign-up required

## Overview

یہ حساب کار ہندسی سلسلے کے ساتھ کام کرتا ہے — ایک ایسی ترتیب جہاں ہر حد پچھلی حد کو ایک مقررہ مشترک نسبت r سے ضرب دے کر حاصل ہوتی ہے، پہلی رقم a سے شروع ہو کر۔ a، r اور حدوں کی تعداد n درج کریں تاکہ فوری طور پر n-واں حد aₙ، پہلے n حدوں کا جزوی مجموعہ Sₙ، اور جب سلسلہ قابو پاتا ہو تو لامحدود مجموعہ S∞ ملے۔

## How to read your result

نتیجے کا کارڈ اوپر پہلے n حدوں کا جزوی مجموعہ Sₙ دکھاتا ہے۔ اس کے نیچے n-واں (آخری) حد aₙ = a·rⁿ⁻¹ اور لامحدود مجموعہ ہے۔ لامحدود مجموعہ ایک محدود عدد صرف اس وقت ہوتا ہے جب |r| < 1، کیونکہ یہی شرط ہے کہ حدیں کافی تیزی سے صفر کی طرف سکڑیں؛ اگر |r| ≥ 1 ہو تو سلسلہ واگرا ہوتا ہے اور حساب کار گمراہ کن عدد چھاپنے کی بجائے یہ بتاتا ہے۔ نیچے کا مرحلہ وار حل آپ کی قدریں ہر بند فارمولے میں ڈالتا ہے تاکہ آپ ہر قدم کی پیروی کر سکیں۔

## Method

n-واں حد بند فارمولے aₙ = a·rⁿ⁻¹ سے حاصل کیا جاتا ہے۔ جزوی مجموعہ r ≠ 1 کے لیے Sₙ = a·(1 − rⁿ)/(1 − r) استعمال کرتا ہے، اور صفر سے تقسیم سے بچنے کے لیے r = 1 پر Sₙ = n·a پر واپس آتا ہے۔ لامحدود مجموعہ S∞ = a/(1 − r) صرف |r| < 1 پر رپورٹ کیا جاتا ہے؛ ورنہ حساب کار قدر چھاپنے کی بجائے سلسلے کے واگرا ہونے کا اعلان کرتا ہے۔

## Example

- **Setup:** a = 1، r = 2، n = 10 درج کریں (سلسلہ 1 + 2 + 4 + … + 512)۔
- **Result:** n-واں حد a₁₀ = 1·2⁹ = 512 ہے اور جزوی مجموعہ S₁₀ = 1·(1 − 2¹⁰)/(1 − 2) = 1023 ہے۔ چونکہ |r| = 2 ≥ 1، سلسلہ واگرا ہے، اس لیے لامحدود مجموعہ نہیں ہے۔ r = 0.5 پر تبدیل کریں اور لامحدود مجموعہ a/(1 − r) = 1/0.5 = 2 بن جاتا ہے۔

## Frequently asked questions

### ہندسی سلسلے کا لامحدود مجموعہ کب ہوتا ہے؟

ہندسی سلسلہ صرف اس وقت محدود لامحدود مجموعے پر قابو پاتا ہے جب مشترک نسبت |r| < 1 ہو۔ اس صورت میں S∞ = a/(1 − r)۔ جب |r| ≥ 1 ہو — بشمول r = 1 اور r = −1 — حدیں صفر کی طرف نہیں جاتیں، جزوی مجموعے بڑھتے یا ڈولتے رہتے ہیں، اور کوئی محدود کل نہیں ہوتا، لہذا سلسلے کو واگرا کہا جاتا ہے۔

### n-واں حد اور جزوی مجموعے میں کیا فرق ہے؟

n-واں حد aₙ = a·rⁿ⁻¹ ایک واحد حد کی قدر ہے — ترتیب میں n-واں اندراج۔ جزوی مجموعہ Sₙ پہلے n حدوں کو آپس میں جوڑتا ہے: r ≠ 1 کے لیے Sₙ = a·(1 − rⁿ)/(1 − r)، یا r = 1 پر n·a۔ تو aₙ فہرست سے ایک عدد ہے، جبکہ Sₙ اس نقطے تک کا رننگ ٹوٹل ہے۔

### کیا پہلی رقم یا مشترک نسبت منفی ہو سکتی ہے؟

جی ہاں۔ پہلی رقم a اور مشترک نسبت r کوئی بھی محدود اعداد ہو سکتے ہیں، بشمول منفی اور کسر۔ منفی نسبت حدوں کو اشارے میں ردوبدل کرتی ہے (مثلاً 1، −2، 4، −8…)۔ بند فارمولے ہر حالت کو سنبھالتے ہیں؛ محدود لامحدود مجموعے کے لیے واحد شرط ابھی بھی |r| < 1 ہے۔

### r = 1 پر فارمولہ کیوں بدلتا ہے؟

عام جزوی مجموعے کا فارمولہ Sₙ = a·(1 − rⁿ)/(1 − r) تقسیم کرتا ہے (1 − r) پر، جو r = 1 پر صفر ہے۔ اس صورت میں ہر حد a کے برابر ہے، لہذا مجموعہ a کی n کاپیاں ہے: Sₙ = n·a۔ حساب کار r = 1 کا پتہ لگاتا ہے اور یہ خاص حالت خود بخود استعمال کرتا ہے۔

## Related calculators

- [حسابی تسلسل کیلکولیٹر](https://youcalc.com/ur/math/arithmetic-progression-calculator/)
- [توان کیلکولیٹر](https://youcalc.com/ur/math/exponent-calculator/)
- [مرکب سود کیلکولیٹر](https://youcalc.com/ur/finance-money/compound-interest/)
- [فیصد کیلکولیٹر](https://youcalc.com/ur/math/percentage/)
- [گولڈن ریشو کیلکولیٹر](https://youcalc.com/ur/math/golden-ratio-calculator/)

## Sources

- https://mathworld.wolfram.com/GeometricSeries.html
- https://en.wikipedia.org/wiki/Geometric_series

---

Interactive version: https://youcalc.com/ur/math/geometric-series-sum/ · From YouCalc — https://youcalc.com