# حسابی تسلسل کیلکولیٹر — nویں اصطلاح اور مجموع

> پہلی اصطلاح، مشترک فرق اور اصطلاحوں کی تعداد سے nویں اصطلاح اور حسابی تسلسل کا مجموع نکالیں — فارمولے اور مراحل کے ساتھ۔ مفت۔

- **Category:** ریاضی
- **Interactive calculator:** https://youcalc.com/ur/math/arithmetic-progression-calculator/
- **Price:** Free, no sign-up required

## Overview

حسابی تسلسل (یا حسابی سیریز) اعداد کی ایسی فہرست ہے جس میں ہر اصطلاح سے پہلے والی اصطلاح میں ایک ثابت مقدار — مشترک فرق d — جمع کرکے اگلی اصطلاح حاصل ہوتی ہے۔ اس کیلکولیٹر میں پہلی اصطلاح a₁، مشترک فرق d اور مطلوبہ اصطلاحوں کی تعداد n درج کریں، اور یہ nویں اصطلاح aₙ، ان n اصطلاحوں کا مجموع Sₙ، اور تسلسل کا پیش منظر فراہم کرے گا۔ یہ بڑھتے تسلسل (مثبت d)، گھٹتے تسلسل (منفی d) اور ثابت تسلسل (d = 0) کے ساتھ کام کرتا ہے، خواہ اصطلاحیں صحیح ہوں یا کسری۔

## How to read your result

سب سے بڑا عدد مجموع Sₙ ہے — یعنی پہلی n اصطلاحوں کو جمع کرنے کا نتیجہ۔ اس کے ساتھ nویں اصطلاح aₙ ہے جو اس سلسلے کی آخری اصطلاح کی قدر ہے۔ تسلسل کا پیش منظر ابتدائی اصطلاحیں ترتیب سے دکھاتا ہے تاکہ آپ ایک نظر میں نمونہ دیکھ سکیں؛ جب n بڑا ہو تو پیش منظر محدود ہوتا ہے لیکن aₙ پھر بھی ظاہر رہتا ہے۔ تفصیلی حل کا حصہ آپ کے اعداد کو دونوں فارمولوں میں بھر کر ہر قدم کی جانچ ممکن بناتا ہے۔

## Method

حسابی تسلسل میں nویں اصطلاح aₙ = a₁ + (n − 1)·d ہے، کیوں کہ آپ a₁ سے شروع ہو کر nویں مقام تک پہنچنے کے لیے کُل (n − 1) بار مشترک فرق d جمع کرتے ہیں۔ پہلی n اصطلاحوں کا مجموع — حسابی سیریز — اصطلاحوں کی تعداد کو پہلی اور آخری اصطلاح کی اوسط سے ضرب دینے کا نتیجہ ہے: Sₙ = n·(a₁ + aₙ) / 2۔ aₙ کو بدل کر مساوی بند صورت ملتی ہے: Sₙ = n/2·(2·a₁ + (n − 1)·d)۔ n ایک مثبت صحیح عدد ہونا چاہیے؛ a₁ اور d کوئی بھی حقیقی اعداد ہو سکتے ہیں بشمول منفی اور کسری۔

## Example

- **Setup:** پہلی اصطلاح a₁ = 2، مشترک فرق d = 3، اور n = 10 اصطلاحیں۔
- **Result:** تسلسل ہے: 2، 5، 8، 11، 14، 17، 20، 23، 26، 29۔ دسویں اصطلاح a₁₀ = 2 + (10 − 1)·3 = 29 ہے، اور دسوں اصطلاحوں کا مجموع S₁₀ = 10·(2 + 29) / 2 = 155 ہے۔

## Frequently asked questions

### nویں اصطلاح اور مجموع میں کیا فرق ہے؟

nویں اصطلاح aₙ ایک واحد قدر ہے — تسلسل کے n ویں مقام پر بیٹھا عدد — جسے aₙ = a₁ + (n − 1)·d سے نکالا جاتا ہے۔ مجموع Sₙ پہلی سے nویں اصطلاح تک ہر اصطلاح کو جمع کرتا ہے: Sₙ = n·(a₁ + aₙ) / 2۔ a₁ = 2، d = 3، n = 10 میں دسویں اصطلاح 29 ہے جبکہ دسوں اصطلاحوں کا مجموع 155 ہے۔

### مشترک فرق کیسے نکالیں؟

مشترک فرق d کسی بھی اصطلاح اور اس سے پہلے والی اصطلاح کا فرق ہے، یعنی: d = a₂ − a₁ = a₃ − a₂، اور اسی طرح آگے۔ اگر لگاتار اصطلاحوں کا فرق ثابت نہ رہے تو تسلسل حسابی نہیں۔ مثبت d سے بڑھتا تسلسل، منفی d سے گھٹتا تسلسل، اور d = 0 سے ثابت تسلسل بنتا ہے جہاں ہر اصطلاح a₁ کے برابر ہے۔

### کیا مشترک فرق یا اصطلاحیں منفی یا کسری ہو سکتی ہیں؟

جی ہاں۔ پہلی اصطلاح a₁ اور مشترک فرق d کوئی بھی حقیقی اعداد ہو سکتے ہیں — منفی، صفر یا کسری۔ a₁ = 5 اور d = −2 کے ساتھ تسلسل گھٹتا ہے: 5، 3، 1، −1، …۔ صرف اصطلاحوں کی تعداد n محدود ہے: یہ 1 یا اس سے زیادہ صحیح عدد ہونا ضروری ہے، کیوں کہ اصطلاحوں کی کسری گنتی ممکن نہیں۔

### مجموع کا فارمولا n·(a₁ + aₙ) / 2 کیوں ہے؟

پہلی اصطلاح کو آخری سے، دوسری کو آخر سے دوسری سے جوڑیں، اور اسی طرح آگے — ہر جوڑے کا مجموع ثابت a₁ + aₙ ہوتا ہے۔ ایسے n/2 جوڑے ہوتے ہیں، لہذا کل مجموع n·(a₁ + aₙ) / 2 ہے — یہ چال کارل فریڈریش گاؤس سے منسوب ہے جن کے بارے میں کہا جاتا ہے کہ انھوں نے 1 سے 100 تک کے اعداد کو 50 جوڑوں میں بانٹ کر، ہر جوڑے کا مجموع 101 بنا کر، 5050 حاصل کیا۔

## Related calculators

- [ہندسی سلسلے کا مجموعہ](https://youcalc.com/ur/math/geometric-series-sum/)
- [توان کیلکولیٹر](https://youcalc.com/ur/math/exponent-calculator/)
- [کواڈریٹک مساوات حل کرنے والا](https://youcalc.com/ur/math/quadratic-equation/)
- [گولڈن ریشو کیلکولیٹر](https://youcalc.com/ur/math/golden-ratio-calculator/)
- [دائرہ کیلکولیٹر](https://youcalc.com/ur/math/circle-calculator/)
- [فیصد کیلکولیٹر](https://youcalc.com/ur/math/percentage/)

## Sources

- https://mathworld.wolfram.com/ArithmeticSeries.html
- https://en.wikipedia.org/wiki/Arithmetic_progression

---

Interactive version: https://youcalc.com/ur/math/arithmetic-progression-calculator/ · From YouCalc — https://youcalc.com