# Решение системы уравнений — 2×2 и 3×3 по шагам

> Решайте линейные системы 2×2 и 3×3 по правилу Крамера через определитель. Единственное решение, отсутствие решений или бесконечно много, с графиком.

- **Category:** Математика
- **Interactive calculator:** https://youcalc.com/ru/math/system-of-equations/
- **Price:** Free, no sign-up required

## Overview

Этот калькулятор решает систему из 2 или 3 линейных уравнений с 2 или 3 неизвестными и определяет, имеет ли она единственное решение, не имеет решений или имеет бесконечно много. Используйте его для проверки домашних заданий, верификации ручных вычислений или изучения того, как изменение коэффициента смещает точку пересечения прямых или плоскостей.

## How to read your result

Карточка результата отображает либо точное решение (x, y и при необходимости z), либо тип системы — единственное, нет решений или бесконечно много. Ниже карточки пошаговый разбор показывает определитель матрицы коэффициентов и то, как каждая переменная вычисляется по правилу Крамера. Для систем 2×2 график в координатной плоскости строит обе прямые, позволяя увидеть точку их пересечения.

## Method

Решатель извлекает матрицу коэффициентов n×n A и вектор констант b из введённых строк. Он вычисляет det(A) разложением по алгебраическим дополнениям (числители Крамера получаются последовательной заменой каждого столбца A на b). Тип системы определяется сравнением ранга A с рангом расширенной матрицы [A|b] методом гауссова исключения с частичным выбором ведущего элемента: ранг(A) = ранг([A|b]) = n — единственное решение; ранг(A) = ранг([A|b]) < n — бесконечно много решений; ранг(A) < ранг([A|b]) — несовместная система. Источники: Wolfram MathWorld; Khan Academy.

## Example

- **Setup:** Введите систему 2×2: уравнение 1 — x + y = 5, уравнение 2 — x - y = 1 (коэффициенты 1, 1, 5 и 1, -1, 1).
- **Result:** Определитель матрицы коэффициентов равен -2. По правилу Крамера: x = -6 / -2 = 3, y = -4 / -2 = 2, то есть единственное решение — x = 3, y = 2. График показывает, что обе прямые пересекаются в точке (3, 2).

## Frequently asked questions

### Что означает нулевой определитель?

Нулевой определитель означает, что уравнения не являются независимыми. Калькулятор проверяет расширенную матрицу: если её ранг совпадает с рангом матрицы коэффициентов, прямые (или плоскости) совпадают и решений бесконечно много; если ранги различаются — система несовместна и решений нет.

### Что такое правило Крамера и когда оно применяется?

Правило Крамера выражает каждую переменную как отношение двух определителей: в числителе столбец этой переменной в матрице коэффициентов заменяется столбцом свободных членов, в знаменателе — определитель матрицы коэффициентов. Правило применяется только тогда, когда этот определитель не равен нулю, то есть когда система имеет ровно одно решение.

### Можно ли решать систему с дробными или десятичными коэффициентами?

Да. Каждая ячейка коэффициента принимает любое конечное десятичное число. Решатель работает в арифметике с плавающей точкой двойной точности с небольшим допуском для близких к нулю ведущих элементов, что обеспечивает точные результаты для типичных учебных задач и хорошо обусловленных инженерных систем.

## Related calculators

- [Калькулятор матриц](https://youcalc.com/ru/math/matrix-operations/)
- [Решение квадратного уравнения](https://youcalc.com/ru/math/quadratic-equation/)
- [Калькулятор углового коэффициента и уравнения прямой](https://youcalc.com/ru/math/slope-line-equation/)

## Sources

- https://mathworld.wolfram.com/LinearSystemofEquations.html
- https://www.khanacademy.org/math/algebra/x2f8bb11595b61c86:systems-of-equations/x2f8bb11595b61c86:solving-systems-elimination/a/elimination-method-review

---

Interactive version: https://youcalc.com/ru/math/system-of-equations/ · From YouCalc — https://youcalc.com