# Калькулятор матриц — определитель, обратная, умножение и транспонирование

> Складывайте, вычитайте, умножайте на скаляр, перемножайте, транспонируйте и находите определитель и обратную матрицу до 3×3 — с результатом и тепловой картой величин.

- **Category:** Математика
- **Interactive calculator:** https://youcalc.com/ru/math/matrix-operations/
- **Price:** Free, no sign-up required

## Overview

Этот калькулятор выполняет наиболее распространённые операции с матрицами размером до 3×3: сложение, вычитание, умножение на скаляр, перемножение матриц, транспонирование, вычисление определителя и обратной матрицы. Введите значения, выберите операцию — результат появится мгновенно вместе с тепловой картой, отражающей относительную величину каждого элемента.

## How to read your result

Для скалярных операций, например вычисления определителя, главное число и является результатом. Для матричных операций карточка результата указывает выполненную операцию, а сетка тепловой карты под ней показывает итоговую матрицу — каждая ячейка закрашена пропорционально абсолютной величине своего элемента относительно наибольшего, что позволяет с первого взгляда выявить доминирующие значения. Информационная полоса вверху страницы подтверждает текущую операцию и тип результата: скаляр или матрица.

## Method

Сложение и вычитание выполняются поэлементно. Умножение на скаляр умножает каждый элемент на константу k. Перемножение матриц следует правилу скалярного произведения: элемент (i, j) результата равен скалярному произведению i-й строки A и j-го столбца B. Транспонирование отражает матрицу относительно главной диагонали, меняя строки и столбцы местами. Определитель вычисляется разложением по алгебраическим дополнениям вдоль первой строки (Wolfram MathWorld: Determinant). Обратная матрица получается делением присоединённой матрицы на определитель (Wolfram MathWorld: Matrix Inverse); вырожденная матрица с нулевым определителем обратной не имеет.

## Example

- **Setup:** Установите обе матрицы 2×2, выберите Умножение и используйте A = [[1, 2], [3, 4]] и B = [[5, 6], [7, 8]].
- **Result:** Произведение A × B равно [[19, 22], [43, 50]]. Элемент (1,1) = 1×5 + 2×7 = 19; элемент (1,2) = 1×6 + 2×8 = 22; и так далее — тепловая карта выделяет 50 как самую тёмную ячейку, поскольку это наибольшее значение в результате.

## Frequently asked questions

### Когда перемножение матриц определено?

Произведение A × B определено только тогда, когда число столбцов A равно числу строк B. Для двух квадратных матриц одного размера это условие всегда выполнено, однако A × B и B × A как правило дают разные результаты — умножение матриц не коммутативно.

### Что говорит нам определитель?

Определитель — это единственное число, характеризующее квадратную матрицу. Ненулевой определитель означает, что матрица имеет единственную обратную и соответствующая система уравнений имеет ровно одно решение. Нулевой определитель означает, что матрица вырожденная — её строки линейно зависимы и обратной матрицы не существует.

### Как вычисляется обратная матрица?

Калькулятор использует метод присоединённой матрицы: формирует матрицу алгебраических дополнений, транспонирует её для получения присоединённой матрицы, затем делит каждый элемент на определитель. Для матрицы 2×2 [[a,b],[c,d]] это даёт [[d,−b],[−c,a]], делённое на (ad − bc). Если определитель равен нулю, отображается сообщение об ошибке.

## Related calculators

- [Решение системы уравнений](https://youcalc.com/ru/math/system-of-equations/)
- [Решение квадратного уравнения](https://youcalc.com/ru/math/quadratic-equation/)
- [Калькулятор углового коэффициента и уравнения прямой](https://youcalc.com/ru/math/slope-line-equation/)

## Sources

- https://mathworld.wolfram.com/Determinant.html
- https://mathworld.wolfram.com/MatrixInverse.html

---

Interactive version: https://youcalc.com/ru/math/matrix-operations/ · From YouCalc — https://youcalc.com