# Калькулятор суммы геометрического ряда — n-й член и S∞

> Вычислите n-й член a·rⁿ⁻¹, частичную сумму Sₙ и сумму до бесконечности a/(1−r) при |r|<1. Показывает решение и сходимость.

- **Category:** Математика
- **Interactive calculator:** https://youcalc.com/ru/math/geometric-series-sum/
- **Price:** Free, no sign-up required

## Overview

Этот калькулятор работает с геометрическим рядом — последовательностью, где каждый член равен предыдущему, умноженному на постоянный знаменатель r, начиная с первого члена a. Введите a, r и количество членов n, чтобы мгновенно увидеть n-й член aₙ, частичную сумму первых n членов Sₙ и сумму до бесконечности S∞, когда ряд сходится.

## How to read your result

Карточка результата показывает частичную сумму Sₙ первых n членов вверху. Ниже находятся n-й (последний) член aₙ = a·rⁿ⁻¹ и сумма до бесконечности. Сумма до бесконечности является конечным числом только при |r| < 1, поскольку это условие для того, чтобы члены убывали к нулю достаточно быстро для стабилизации общей суммы; если |r| ≥ 1, ряд расходится, и калькулятор сообщает об этом вместо вывода вводящего в заблуждение числа. Подробное решение ниже подставляет ваши значения в каждую замкнутую формулу, чтобы вы могли проследить каждый шаг.

## Method

n-й член вычисляется по замкнутой формуле aₙ = a·rⁿ⁻¹. Частичная сумма использует Sₙ = a·(1 − rⁿ)/(1 − r) при r ≠ 1, переходя к Sₙ = n·a при r = 1 во избежание деления на ноль. Сумма до бесконечности S∞ = a/(1 − r) выводится только при |r| < 1, стандартном условии сходимости геометрического ряда; в противном случае калькулятор сообщает о расходимости ряда вместо вывода значения. Эти формулы и правило сходимости задокументированы Wolfram MathWorld и Википедией.

## Example

- **Setup:** Введите a = 1, r = 2, n = 10 (ряд 1 + 2 + 4 + … + 512).
- **Result:** n-й член a₁₀ = 1·2⁹ = 512, а частичная сумма S₁₀ = 1·(1 − 2¹⁰)/(1 − 2) = 1023. Так как |r| = 2 ≥ 1, ряд расходится, поэтому суммы до бесконечности нет. Переключитесь на r = 0,5 и сумма до бесконечности станет a/(1 − r) = 1/0,5 = 2.

## Frequently asked questions

### Когда геометрический ряд имеет сумму до бесконечности?

Геометрический ряд сходится к конечной сумме до бесконечности только когда знаменатель удовлетворяет |r| < 1. В этом случае S∞ = a/(1 − r). Когда |r| ≥ 1 — включая r = 1 и r = −1 — члены не стремятся к нулю, частичные суммы продолжают расти или колебаться, и конечной суммы не существует; ряд называют расходящимся.

### В чём разница между n-м членом и частичной суммой?

n-й член aₙ = a·rⁿ⁻¹ — это значение одного члена, n-й элемент последовательности. Частичная сумма Sₙ складывает первые n членов: Sₙ = a·(1 − rⁿ)/(1 − r) при r ≠ 1, или просто n·a при r = 1. Таким образом, aₙ — одно число из списка, а Sₙ — нарастающий итог всего списка до этой точки.

### Могут ли первый член или знаменатель быть отрицательными?

Да. Первый член a и знаменатель r могут быть любыми конечными числами, включая отрицательные и дроби. Отрицательный знаменатель приводит к чередованию знаков членов (например 1, −2, 4, −8…). Замкнутые формулы обрабатывают все случаи; единственное требование для конечной суммы до бесконечности по-прежнему |r| < 1.

### Почему формула меняется при r = 1?

Общая формула частичной суммы Sₙ = a·(1 − rⁿ)/(1 − r) делит на (1 − r), которое равно нулю при r = 1. В этом случае каждый член равен a, поэтому сумма — просто n копий a: Sₙ = n·a. Калькулятор определяет r = 1 и автоматически использует этот частный случай.

## Related calculators

- [Калькулятор арифметической прогрессии](https://youcalc.com/ru/math/arithmetic-progression-calculator/)
- [Калькулятор степеней](https://youcalc.com/ru/math/exponent-calculator/)
- [Калькулятор сложных процентов](https://youcalc.com/ru/finance-money/compound-interest/)
- [Калькулятор процентов](https://youcalc.com/ru/math/percentage/)
- [Калькулятор золотого сечения](https://youcalc.com/ru/math/golden-ratio-calculator/)

## Sources

- https://mathworld.wolfram.com/GeometricSeries.html
- https://en.wikipedia.org/wiki/Geometric_series

---

Interactive version: https://youcalc.com/ru/math/geometric-series-sum/ · From YouCalc — https://youcalc.com