# Калькулятор арифметической прогрессии — n-й член и сумма

> Найдите n-й член и сумму арифметической прогрессии по первому члену, разности и количеству членов — с формулой и подробным решением. Бесплатно.

- **Category:** Математика
- **Interactive calculator:** https://youcalc.com/ru/math/arithmetic-progression-calculator/
- **Price:** Free, no sign-up required

## Overview

Арифметическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой каждый следующий член получается прибавлением к предыдущему одной и той же фиксированной величины — разности d. Введите в этот калькулятор первый член a₁, разность d и количество членов n, и вы получите n-й член aₙ, сумму этих n членов Sₙ и предварительный просмотр ряда. Работает с возрастающими (d > 0), убывающими (d < 0) и постоянными (d = 0) прогрессиями, с целыми и дробными членами.

## How to read your result

Большое число — это сумма Sₙ, то есть результат сложения первых n членов. Рядом отображается n-й член aₙ — значение последнего члена этой последовательности. Предварительный просмотр перечисляет первые члены по порядку, чтобы вы сразу увидели закономерность; при большом n просмотр сокращается, но aₙ всё равно показывает, чем заканчивается ряд. Панель подробного решения подставляет ваши числа в обе формулы, чтобы вы могли проверить каждый шаг вручную.

## Method

В арифметической прогрессии n-й член равен aₙ = a₁ + (n − 1)·d, потому что мы начинаем с a₁ и прибавляем разность d в общей сложности (n − 1) раз, чтобы добраться до позиции n. Сумма первых n членов — арифметического ряда — равна числу членов, умноженному на среднее арифметическое первого и последнего членов: Sₙ = n·(a₁ + aₙ) / 2. Подставляя aₙ, получаем эквивалентную замкнутую форму Sₙ = n/2·(2·a₁ + (n − 1)·d). Число членов n должно быть натуральным; a₁ и d могут быть любыми вещественными числами, включая отрицательные и дробные.

## Example

- **Setup:** Первый член a₁ = 2, разность d = 3 и n = 10 членов.
- **Result:** Ряд: 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29. Десятый член a₁₀ = 2 + (10 − 1)·3 = 29, а сумма всех десяти членов S₁₀ = 10·(2 + 29) / 2 = 155.

## Frequently asked questions

### В чём разница между n-м членом и суммой?

n-й член aₙ — это одно конкретное значение, число на позиции n в прогрессии, — вычисляется как aₙ = a₁ + (n − 1)·d. Сумма Sₙ складывает все члены с первого по n-й: Sₙ = n·(a₁ + aₙ) / 2. При a₁ = 2, d = 3, n = 10 десятый член равен 29, а сумма десяти членов — 155.

### Как найти разность прогрессии?

Разность d — это разница между любым членом и предыдущим, то есть вычтите член из его следующего соседа: d = a₂ − a₁ = a₃ − a₂ и т. д. Если у последовательных членов нет постоянной разности, последовательность не является арифметической. Положительная d даёт возрастающую прогрессию, отрицательная — убывающую, d = 0 — постоянную, где все члены равны a₁.

### Могут ли разность или члены быть отрицательными или дробными?

Да. Первый член a₁ и разность d могут быть любыми вещественными числами — отрицательными, нулём или дробями. При a₁ = 5 и d = −2 прогрессия убывает: 5, 3, 1, −1, …. Ограничение есть только на число членов n: оно должно быть целым числом не менее 1, поскольку дробное число членов невозможно.

### Почему формула суммы — n·(a₁ + aₙ) / 2?

Если сопоставить первый член с последним, второй — с предпоследним и т. д., то каждая пара даёт одну и ту же сумму a₁ + aₙ. Таких пар n/2, поэтому итоговая сумма равна n·(a₁ + aₙ) / 2 — приём, приписываемый Карлу Фридриху Гауссу, который, по преданию, сложил числа от 1 до 100, составив 50 пар по 101, и получил 5050.

## Related calculators

- [Калькулятор суммы геометрического ряда](https://youcalc.com/ru/math/geometric-series-sum/)
- [Калькулятор степеней](https://youcalc.com/ru/math/exponent-calculator/)
- [Решение квадратного уравнения](https://youcalc.com/ru/math/quadratic-equation/)
- [Калькулятор золотого сечения](https://youcalc.com/ru/math/golden-ratio-calculator/)
- [Калькулятор круга](https://youcalc.com/ru/math/circle-calculator/)
- [Калькулятор процентов](https://youcalc.com/ru/math/percentage/)

## Sources

- https://mathworld.wolfram.com/ArithmeticSeries.html
- https://en.wikipedia.org/wiki/Arithmetic_progression

---

Interactive version: https://youcalc.com/ru/math/arithmetic-progression-calculator/ · From YouCalc — https://youcalc.com