# Calculadora Série Geométrica — n-ésimo termo e S∞

> Calcule o n-ésimo termo a·rⁿ⁻¹, a soma parcial Sₙ e a soma até o infinito a/(1−r) quando |r|<1. Exibe o desenvolvimento e a convergência.

- **Category:** Matemática
- **Interactive calculator:** https://youcalc.com/pt/math/geometric-series-sum/
- **Price:** Free, no sign-up required

## Overview

Esta calculadora trabalha com uma série geométrica — uma sequência em que cada termo é o anterior multiplicado por uma razão comum fixa r, a partir de um primeiro termo a. Insira a, r e o número de termos n para ver instantaneamente o n-ésimo termo aₙ, a soma parcial dos primeiros n termos Sₙ e a soma até o infinito S∞ quando a série converge.

## How to read your result

O cartão de resultado exibe a soma parcial Sₙ dos primeiros n termos no topo. Abaixo estão o n-ésimo (último) termo aₙ = a·rⁿ⁻¹ e a soma até o infinito. A soma até o infinito é um número finito apenas quando |r| < 1, pois essa é a condição para os termos diminuírem em direção a zero rápido o suficiente para que a soma total se estabilize; se |r| ≥ 1 a série diverge e a calculadora informa isso em vez de imprimir um número enganoso. A solução detalhada abaixo substitui os seus valores em cada forma fechada para que você possa acompanhar cada passo.

## Method

O n-ésimo termo é calculado com a forma fechada aₙ = a·rⁿ⁻¹. A soma parcial usa Sₙ = a·(1 − rⁿ)/(1 − r) para r ≠ 1, recorrendo a Sₙ = n·a quando r = 1 para evitar divisão por zero. A soma até o infinito é S∞ = a/(1 − r) e é informada apenas quando |r| < 1, a condição padrão de convergência para uma série geométrica; caso contrário a calculadora indica que a série diverge em vez de imprimir um valor. Estas fórmulas e a regra de convergência estão documentadas pelo Wolfram MathWorld e pela Wikipédia.

## Example

- **Setup:** Insira a = 1, r = 2, n = 10 (a série 1 + 2 + 4 + … + 512).
- **Result:** O n-ésimo termo é a₁₀ = 1·2⁹ = 512 e a soma parcial é S₁₀ = 1·(1 − 2¹⁰)/(1 − 2) = 1023. Como |r| = 2 ≥ 1, a série diverge, portanto não há soma até o infinito. Mude para r = 0,5 e a soma até o infinito se torna a/(1 − r) = 1/0,5 = 2.

## Frequently asked questions

### Quando uma série geométrica tem soma até o infinito?

Uma série geométrica converge para uma soma finita até o infinito apenas quando a razão satisfaz |r| < 1. Nesse caso S∞ = a/(1 − r). Quando |r| ≥ 1 — incluindo r = 1 e r = −1 — os termos não se reduzem a zero, as somas parciais continuam crescendo ou oscilando, e não há soma finita; diz-se que a série diverge.

### Qual é a diferença entre o n-ésimo termo e a soma parcial?

O n-ésimo termo aₙ = a·rⁿ⁻¹ é o valor de um único termo — a n-ésima entrada da sequência. A soma parcial Sₙ soma os primeiros n termos: Sₙ = a·(1 − rⁿ)/(1 − r) para r ≠ 1, ou simplesmente n·a quando r = 1. Portanto aₙ é um número da lista, enquanto Sₙ é o total acumulado até aquele ponto.

### O primeiro termo ou a razão comum podem ser negativos?

Sim. O primeiro termo a e a razão comum r podem ser quaisquer números finitos, incluindo negativos e frações. Uma razão negativa faz os termos alternarem de sinal (por exemplo 1, −2, 4, −8…). As fórmulas fechadas lidam com todos os casos; o único requisito para uma soma finita até o infinito continua sendo |r| < 1.

### Por que a fórmula muda quando r = 1?

A fórmula geral de soma parcial Sₙ = a·(1 − rⁿ)/(1 − r) divide por (1 − r), que é zero quando r = 1. Nesse caso cada termo é igual a a, então a soma é simplesmente n cópias de a: Sₙ = n·a. A calculadora detecta r = 1 e usa este caso especial automaticamente.

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## Sources

- https://mathworld.wolfram.com/GeometricSeries.html
- https://en.wikipedia.org/wiki/Geometric_series

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