# Calculadora de crescimento e decaimento exponencial — duplicação e meia-vida

> Projete crescimento ou decaimento exponencial com o modelo contínuo N₀·e^{kt} ou discreto N₀·(1±r)^t. Valor em qualquer instante, tempo de duplicação ou meia-vida, com curva.

- **Category:** Matemática
- **Interactive calculator:** https://youcalc.com/pt/math/exponential-growth-decay/
- **Price:** Free, no sign-up required

## Overview

Esta calculadora modela o crescimento e o decaimento exponencial usando a fórmula discreta N₀·(1 + r)^t ou a fórmula contínua N₀·e^{kt}. Use-a para projetar crescimento populacional, decaimento radioativo, retornos compostos, propagação viral ou qualquer quantidade que se multiplique por um fator fixo a cada período.

## How to read your result

O número em destaque é o valor calculado no tempo que você inseriu. Abaixo, o cartão de resultado exibe o multiplicador por período (a base), o tempo de duplicação quando há crescimento ou a meia-vida quando há decaimento, e a variação líquida em relação à quantidade inicial. O gráfico de linhas traça a curva de t = 0 até o tempo escolhido, para que você veja com que rapidez a quantidade acelera ou diminui.

## Method

Para o modelo discreto, o valor no tempo t é N(t) = N₀·(1 + r)^t, onde N₀ é a quantidade inicial e r a taxa por período. Para o modelo contínuo é N(t) = N₀·e^{kt}, onde k é a constante de crescimento contínuo. Ambos se reduzem à forma unificada N₀·b^t com a base b = (1 + r) ou b = e^k. O tempo de duplicação e a meia-vida derivam da condição b^T = 2 (ou ½), dando T = ln(2) / ln(b).

## Example

- **Setup:** Comece com 500 e aplique uma taxa de crescimento discreta de 8% por período durante 12 períodos.
- **Result:** O valor final é de aproximadamente 1 259 — com um multiplicador base de 1,08 por período e um tempo de duplicação de cerca de 9 períodos. A quantidade mais do que dobrou a partir de 500 em apenas 12 passos.

## Frequently asked questions

### Quando devo usar o modelo contínuo em vez do discreto?

Use o modelo contínuo quando o crescimento ou o decaimento ocorre sem interrupção — por exemplo, decaimento radioativo, crescimento bacteriano em condições ideais ou retornos financeiros com capitalização contínua. Use o modelo discreto quando a mudança ocorre em etapas distintas, como contagens anuais de população ou retornos de investimento período a período.

### O que é o tempo de duplicação e como ele é calculado?

O tempo de duplicação é o número de períodos necessários para a quantidade dobrar. Para o modelo discreto é ln(2) / ln(1 + r); para o contínuo, ln(2) / k. Uma taxa de crescimento mais alta significa um tempo de duplicação menor — a 10% por período, a quantidade dobra em cerca de 7,3 períodos.

### Posso usar esta calculadora para decaimento, e o que é meia-vida?

Sim. Insira uma taxa negativa em qualquer um dos modelos e a calculadora muda para o modo de decaimento. A meia-vida é o tempo para a quantidade cair à metade do seu valor atual. É calculada da mesma forma que o tempo de duplicação, mas usando o valor absoluto da taxa: ln(2) / |k| para o contínuo, ou ln(2) / |ln(base)| para o discreto.

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## Sources

- https://mathworld.wolfram.com/ExponentialGrowth.html
- https://www.khanacademy.org/math/algebra/x2f8bb11595b61c86:exponential-growth-decay

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Interactive version: https://youcalc.com/pt/math/exponential-growth-decay/ · From YouCalc — https://youcalc.com