# Calculadora progressão aritmética — termo n e soma

> Calcule o n-ésimo termo e a soma de uma progressão aritmética a partir do primeiro termo, da razão e do número de termos, com fórmula e passos mostrados.

- **Category:** Matemática
- **Interactive calculator:** https://youcalc.com/pt/math/arithmetic-progression-calculator/
- **Price:** Free, no sign-up required

## Overview

Uma progressão aritmética (ou sequência aritmética) é uma lista de números em que cada termo é obtido adicionando ao anterior uma quantidade fixa chamada razão d. Insira nesta calculadora o primeiro termo a₁, a razão d e quantos termos deseja (n), e ela retornará o n-ésimo termo aₙ, a soma desses n termos Sₙ e uma prévia da sequência. Funciona com sequências crescentes (d positivo), decrescentes (d negativo) e constantes (d = 0), com termos inteiros ou fracionários.

## How to read your result

O número grande é a soma Sₙ — o total obtido somando os primeiros n termos. Ao lado está o n-ésimo termo aₙ, que é o valor do último termo daquela série. A prévia da sequência lista os termos iniciais em ordem para você ver o padrão de relance; quando n é grande, a prévia é limitada, mas aₙ ainda mostra onde a série termina. O painel de solução passo a passo substitui seus números nas duas fórmulas para que você possa verificar cada etapa manualmente.

## Method

Numa progressão aritmética o n-ésimo termo é aₙ = a₁ + (n − 1)·d, pois parte-se de a₁ e adiciona-se a razão d um total de (n − 1) vezes para alcançar a posição n. A soma dos primeiros n termos — uma série aritmética — é o número de termos multiplicado pela média do primeiro e do último termo: Sₙ = n·(a₁ + aₙ) / 2. Substituindo aₙ obtém-se a forma fechada equivalente Sₙ = n/2·(2·a₁ + (n − 1)·d). O número de termos n deve ser um inteiro positivo; a₁ e d podem ser quaisquer números reais, incluindo negativos e fracionários.

## Example

- **Setup:** Primeiro termo a₁ = 2, razão d = 3 e n = 10 termos.
- **Result:** A sequência é 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29. O 10º termo é a₁₀ = 2 + (10 − 1)·3 = 29, e a soma dos dez termos é S₁₀ = 10·(2 + 29) / 2 = 155.

## Frequently asked questions

### Qual é a diferença entre o n-ésimo termo e a soma?

O n-ésimo termo aₙ é um valor único — o número na posição n da sequência — obtido com aₙ = a₁ + (n − 1)·d. A soma Sₙ adiciona todos os termos do primeiro ao n-ésimo: Sₙ = n·(a₁ + aₙ) / 2. Para a₁ = 2, d = 3, n = 10, o 10º termo é 29, enquanto a soma dos dez termos é 155.

### Como encontro a razão?

A razão d é a diferença entre qualquer termo e o anterior, então subtraia um termo do seu sucessor: d = a₂ − a₁ = a₃ − a₂, e assim por diante. Se os termos consecutivos não compartilham uma diferença constante, a sequência não é aritmética. Uma razão positiva gera uma sequência crescente, negativa uma decrescente, e d = 0 uma sequência constante onde todos os termos igualam a₁.

### A razão ou os termos podem ser negativos ou fracionários?

Sim. O primeiro termo a₁ e a razão d podem ser quaisquer números reais — negativos, zero ou fracionários. Com a₁ = 5 e d = −2 a sequência decresce: 5, 3, 1, −1, …. Apenas o número de termos n é restrito: deve ser um inteiro de 1 ou mais, pois não é possível ter um número fracionário de termos.

### Por que a fórmula da soma é n·(a₁ + aₙ) / 2?

Pareando o primeiro termo com o último, o segundo com o penúltimo, e assim por diante, cada par soma o mesmo total a₁ + aₙ. Há n/2 desses pares, então a soma é n·(a₁ + aₙ) / 2 — o truque atribuído a Carl Friedrich Gauss, que teria somado 1 a 100 como 50 pares de 101 para obter 5050.

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## Sources

- https://mathworld.wolfram.com/ArithmeticSeries.html
- https://en.wikipedia.org/wiki/Arithmetic_progression

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