# Penyelesai Sistem Persamaan — 2×2 & 3×3 dengan langkah

> Selesaikan sistem linear 2×2 dan 3×3 dengan aturan Cramer dan determinan. Lihat solusi tunggal, tanpa solusi, atau tak hingga solusi, dengan grafik.

- **Category:** Matematika
- **Interactive calculator:** https://youcalc.com/id/math/system-of-equations/
- **Price:** Free, no sign-up required

## Overview

Kalkulator ini menyelesaikan sistem persamaan linear 2x2 atau 3x3 dan memberi tahu Anda apakah sistemnya memiliki satu solusi unik, tidak ada solusi, atau tak hingga solusi. Gunakan untuk memeriksa pekerjaan rumah, memverifikasi penyelesaian manual, atau mengeksplorasi bagaimana perubahan koefisien menggeser titik perpotongan garis atau bidang.

## How to read your result

Kartu hasil menampilkan solusi eksak (x, y, dan opsional z) atau klasifikasi sistem — unik, tidak ada, atau tak hingga. Di bawah kartu, rincian langkah demi langkah menampilkan determinan matriks koefisien dan cara setiap variabel diperoleh melalui aturan Cramer. Untuk sistem 2x2, grafik di bidang koordinat memplot kedua garis sehingga Anda dapat melihat titik perpotongannya sekilas.

## Method

Penyelesai mengekstrak matriks koefisien n x n A dan vektor konstanta b dari baris yang dimasukkan. Ia menghitung det(A) dengan ekspansi kofaktor (numerator Cramer diperoleh dengan menggantikan setiap kolom A secara berurutan dengan b). Klasifikasi sistem ditentukan dengan membandingkan peringkat A dan peringkat matriks augmented [A|b] melalui eliminasi Gaussian dengan pemilihan pivot sebagian: rank(A) = rank([A|b]) = n berarti solusi unik; rank(A) = rank([A|b]) < n berarti tak hingga solusi; rank(A) < rank([A|b]) berarti sistem tidak konsisten. Sumber: Wolfram MathWorld; Khan Academy.

## Example

- **Setup:** Masukkan sistem 2x2: persamaan 1 — x + y = 5, persamaan 2 — x - y = 1 (koefisien 1, 1, 5 dan 1, -1, 1).
- **Result:** Determinan matriks koefisien adalah -2. Aturan Cramer menghasilkan x = -6 / -2 = 3 dan y = -4 / -2 = 2, sehingga solusi uniknya adalah x = 3, y = 2. Grafik menunjukkan kedua garis berpotongan di (3, 2).

## Frequently asked questions

### Apa artinya determinan bernilai nol?

Determinan nol berarti persamaan-persamaannya tidak bebas satu sama lain. Kalkulator kemudian memeriksa matriks augmented: jika peringkatnya sama dengan peringkat matriks koefisien, garis (atau bidang) tersebut berimpit dan terdapat tak hingga solusi; jika peringkatnya berbeda, sistemnya tidak konsisten dan tidak memiliki solusi.

### Apa itu aturan Cramer dan kapan berlaku?

Aturan Cramer menyatakan setiap variabel sebagai rasio dua determinan — pembilangnya menggantikan kolom variabel dalam matriks koefisien dengan suku konstan, sedangkan penyebutnya adalah determinan matriks koefisien. Aturan ini hanya berlaku ketika determinan tersebut tidak nol, yaitu saat sistem memiliki tepat satu solusi.

### Bisakah saya menyelesaikan sistem dengan koefisien desimal atau pecahan?

Ya. Setiap sel koefisien menerima sembarang bilangan desimal berhingga. Penyelesai bekerja dalam aritmetika titik-mengambang presisi ganda dengan toleransi kecil untuk pivot yang mendekati nol, sehingga hasilnya akurat untuk soal-soal latihan umum dan sistem rekayasa yang terkondisi dengan baik.

## Related calculators

- [Kalkulator Matriks](https://youcalc.com/id/math/matrix-operations/)
- [Penyelesai Persamaan Kuadrat](https://youcalc.com/id/math/quadratic-equation/)
- [Kalkulator Kemiringan & Persamaan Garis](https://youcalc.com/id/math/slope-line-equation/)

## Sources

- https://mathworld.wolfram.com/LinearSystemofEquations.html
- https://www.khanacademy.org/math/algebra/x2f8bb11595b61c86:systems-of-equations/x2f8bb11595b61c86:solving-systems-elimination/a/elimination-method-review

---

Interactive version: https://youcalc.com/id/math/system-of-equations/ · From YouCalc — https://youcalc.com