# Calculatrice Série Géométrique — n-ième terme & S∞

> Calculez le n-ième terme a·rⁿ⁻¹, la somme partielle Sₙ et la somme à l’infini a/(1−r) quand |r|<1. Affiche le développement et la convergence.

- **Category:** Mathématiques
- **Interactive calculator:** https://youcalc.com/fr/math/geometric-series-sum/
- **Price:** Free, no sign-up required

## Overview

Cette calculatrice travaille avec une suite géométrique — une suite dont chaque terme est le précédent multiplié par une raison fixe r, à partir du premier terme a. Entrez a, r et le nombre de termes n pour voir instantanément le n-ième terme aₙ, la somme partielle des n premiers termes Sₙ et la somme à l’infini S∞ quand la série converge.

## How to read your result

La carte de résultat affiche la somme partielle Sₙ des n premiers termes en haut. En dessous se trouvent le n-ième (dernier) terme aₙ = a·rⁿ⁻¹ et la somme à l’infini. La somme à l’infini est un nombre fini uniquement quand |r| < 1, car c’est la condition pour que les termes se réduisent vers zéro assez vite pour que la somme totale se stabilise ; si |r| ≥ 1 la série diverge et la calculatrice l’indique au lieu d’afficher un nombre trompeur. La solution détaillée ci-dessous substitue vos valeurs dans chaque formule fermée pour que vous puissiez suivre chaque étape.

## Method

Le n-ième terme est calculé avec la forme fermée aₙ = a·rⁿ⁻¹. La somme partielle utilise Sₙ = a·(1 − rⁿ)/(1 − r) pour r ≠ 1, avec repli sur Sₙ = n·a quand r = 1 pour éviter la division par zéro. La somme à l’infini est S∞ = a/(1 − r) et n’est affichée que lorsque |r| < 1, condition standard de convergence d’une série géométrique ; sinon la calculatrice indique que la série diverge plutôt qu’une valeur. Ces formules et la règle de convergence sont documentées par Wolfram MathWorld et Wikipédia.

## Example

- **Setup:** Entrez a = 1, r = 2, n = 10 (la série 1 + 2 + 4 + … + 512).
- **Result:** Le n-ième terme est a₁₀ = 1·2⁹ = 512 et la somme partielle est S₁₀ = 1·(1 − 2¹⁰)/(1 − 2) = 1023. Comme |r| = 2 ≥ 1, la série diverge, donc il n’y a pas de somme à l’infini. Passez à r = 0,5 et la somme à l’infini devient a/(1 − r) = 1/0,5 = 2.

## Frequently asked questions

### Quand une série géométrique a-t-elle une somme à l’infini ?

Une série géométrique converge vers une somme finie à l’infini uniquement quand la raison vérifie |r| < 1. Dans ce cas S∞ = a/(1 − r). Quand |r| ≥ 1 — y compris r = 1 et r = −1 — les termes ne tendent pas vers zéro, les sommes partielles continuent de croître ou d’osciller, et il n’y a pas de somme finie ; la série est dite divergente.

### Quelle est la différence entre le n-ième terme et la somme partielle ?

Le n-ième terme aₙ = a·rⁿ⁻¹ est la valeur d’un seul terme — la n-ième entrée de la suite. La somme partielle Sₙ additionne les n premiers termes ensemble : Sₙ = a·(1 − rⁿ)/(1 − r) pour r ≠ 1, ou simplement n·a quand r = 1. Ainsi aₙ est un nombre de la liste, tandis que Sₙ est le total cumulé jusqu’à ce point.

### Le premier terme ou la raison peuvent-ils être négatifs ?

Oui. Le premier terme a et la raison r peuvent être n’importe quels nombres finis, y compris négatifs et fractions. Une raison négative fait alterner le signe des termes (par exemple 1, −2, 4, −8…). Les formules fermées gèrent tous les cas ; la seule condition pour une somme finie à l’infini reste |r| < 1.

### Pourquoi la formule change-t-elle quand r = 1 ?

La formule générale de somme partielle Sₙ = a·(1 − rⁿ)/(1 − r) divise par (1 − r), qui est nul quand r = 1. Dans ce cas chaque terme est égal à a, donc la somme est simplement n copies de a : Sₙ = n·a. La calculatrice détecte r = 1 et utilise automatiquement ce cas particulier.

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## Sources

- https://mathworld.wolfram.com/GeometricSeries.html
- https://en.wikipedia.org/wiki/Geometric_series

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Interactive version: https://youcalc.com/fr/math/geometric-series-sum/ · From YouCalc — https://youcalc.com