# Calculateur suite arithmétique — terme n et somme

> Trouvez le nième terme et la somme d'une suite arithmétique à partir du premier terme, de la raison et du nombre de termes — formule et étapes incluses.

- **Category:** Mathématiques
- **Interactive calculator:** https://youcalc.com/fr/math/arithmetic-progression-calculator/
- **Price:** Free, no sign-up required

## Overview

Une suite arithmétique est une liste de nombres dans laquelle chaque terme est obtenu en ajoutant au précédent une valeur fixe appelée la raison d. Entrez le premier terme a₁, la raison d et le nombre de termes n dans cette calculatrice pour obtenir le nième terme aₙ, la somme de ces n termes Sₙ et un aperçu de la suite. Elle fonctionne pour les suites croissantes (d positif), décroissantes (d négatif) et constantes (d = 0), que les termes soient entiers ou fractionnaires.

## How to read your result

Le grand nombre est la somme Sₙ — le total obtenu en additionnant les n premiers termes. À côté figure le nième terme aₙ, qui est la valeur du dernier terme de la suite. L'aperçu liste les premiers termes dans l'ordre pour que vous puissiez voir le motif en un coup d'œil ; lorsque n est grand, l'aperçu est limité, mais aₙ indique toujours jusqu'où va la suite. Le panneau de solution détaillée substitue vos nombres dans les deux formules pour que vous puissiez vérifier chaque étape à la main.

## Method

Dans une suite arithmétique, le nième terme est aₙ = a₁ + (n − 1)·d, car on part de a₁ et on ajoute la raison d un total de (n − 1) fois pour atteindre la nième position. La somme des n premiers termes — une série arithmétique — est le nombre de termes multiplié par la moyenne du premier et du dernier terme : Sₙ = n·(a₁ + aₙ) / 2. En substituant aₙ on obtient la forme close équivalente Sₙ = n/2·(2·a₁ + (n − 1)·d). Le nombre de termes n doit être un entier positif ; a₁ et d peuvent être des réels quelconques, y compris négatifs et fractionnaires.

## Example

- **Setup:** Premier terme a₁ = 2, raison d = 3 et n = 10 termes.
- **Result:** La suite est 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29. Le 10ème terme est a₁₀ = 2 + (10 − 1)·3 = 29, et la somme des dix termes est S₁₀ = 10·(2 + 29) / 2 = 155.

## Frequently asked questions

### Quelle est la différence entre le nième terme et la somme ?

Le nième terme aₙ est une valeur unique — le nombre occupant la position n dans la suite — obtenu avec aₙ = a₁ + (n − 1)·d. La somme Sₙ additionne tous les termes du premier au nième : Sₙ = n·(a₁ + aₙ) / 2. Pour a₁ = 2, d = 3, n = 10, le 10ème terme est 29 tandis que la somme des dix termes est 155.

### Comment trouver la raison ?

La raison d est l'écart entre n'importe quel terme et le précédent, donc soustrayez un terme de son successeur : d = a₂ − a₁ = a₃ − a₂, etc. Si les termes consécutifs n'ont pas un écart constant, la suite n'est pas arithmétique. Une raison positive donne une suite croissante, une raison négative une suite décroissante, et d = 0 une suite constante où tous les termes valent a₁.

### La raison ou les termes peuvent-ils être négatifs ou fractionnaires ?

Oui. Le premier terme a₁ et la raison d peuvent être des réels quelconques — négatifs, nuls ou fractionnaires. Avec a₁ = 5 et d = −2 la suite décroît : 5, 3, 1, −1, … . Seul le nombre de termes n est restreint : il doit être un entier supérieur ou égal à 1, car on ne peut pas avoir un nombre fractionnaire de termes.

### Pourquoi la formule de la somme est-elle n·(a₁ + aₙ) / 2 ?

En associant le premier terme avec le dernier, le deuxième avec l'avant-dernier, etc., chaque paire donne la même somme a₁ + aₙ. Il y a n/2 telles paires, donc la somme est n·(a₁ + aₙ) / 2 — l'astuce attribuée à Carl Friedrich Gauss, qui aurait calculé la somme de 1 à 100 en formant 50 paires de 101 pour obtenir 5050.

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## Sources

- https://mathworld.wolfram.com/ArithmeticSeries.html
- https://en.wikipedia.org/wiki/Arithmetic_progression

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