# Calculadora Serie Geométrica — Término n y S∞

> Calcula el término n a·rⁿ⁻¹, la suma parcial Sₙ y la suma hasta el infinito a/(1−r) cuando |r|<1. Muestra el desarrollo y la convergencia.

- **Category:** Matemáticas
- **Interactive calculator:** https://youcalc.com/es/math/geometric-series-sum/
- **Price:** Free, no sign-up required

## Overview

Esta calculadora trabaja con una serie geométrica — una sucesión donde cada término es el anterior multiplicado por una razón común fija r, partiendo de un primer término a. Introduce a, r y el número de términos n para ver al instante el término n (aₙ), la suma parcial de los primeros n términos Sₙ y la suma hasta el infinito S∞ cuando la serie converge.

## How to read your result

La tarjeta de resultado muestra la suma parcial Sₙ de los primeros n términos en la parte superior. Debajo encontrarás el término n (último) aₙ = a·rⁿ⁻¹ y la suma hasta el infinito. La suma hasta el infinito es un número finito solo cuando |r| < 1, porque esa es la condición para que los términos se reduzcan a cero lo suficientemente rápido para que la suma total se estabilice; si |r| ≥ 1 la serie diverge y la calculadora lo indica en lugar de imprimir un número engañoso. La solución desarrollada de abajo sustituye tus valores en cada fórmula cerrada para que puedas seguir cada paso.

## Method

El término n se calcula con la forma cerrada aₙ = a·rⁿ⁻¹. La suma parcial usa Sₙ = a·(1 − rⁿ)/(1 − r) para r ≠ 1, con replegado a Sₙ = n·a cuando r = 1 para evitar dividir por cero. La suma hasta el infinito es S∞ = a/(1 − r) y se muestra solo cuando |r| < 1, la condición estándar de convergencia para una serie geométrica; de lo contrario la calculadora indica que la serie diverge en lugar de imprimir un valor. Estas fórmulas y la regla de convergencia están documentadas por Wolfram MathWorld y Wikipedia.

## Example

- **Setup:** Introduce a = 1, r = 2, n = 10 (la serie 1 + 2 + 4 + … + 512).
- **Result:** El término n es a₁₀ = 1·2⁹ = 512 y la suma parcial es S₁₀ = 1·(1 − 2¹⁰)/(1 − 2) = 1023. Como |r| = 2 ≥ 1, la serie diverge, por lo que no hay suma hasta el infinito. Cambia a r = 0,5 y la suma hasta el infinito se convierte en a/(1 − r) = 1/0,5 = 2.

## Frequently asked questions

### ¿Cuándo tiene una serie geométrica suma hasta el infinito?

Una serie geométrica converge a una suma finita hasta el infinito solo cuando la razón satisface |r| < 1. En ese caso S∞ = a/(1 − r). Cuando |r| ≥ 1 — incluidos r = 1 y r = −1 — los términos no se reducen a cero, las sumas parciales siguen creciendo u oscilando, y no hay suma finita; se dice que la serie diverge.

### ¿Cuál es la diferencia entre el término n y la suma parcial?

El término n aₙ = a·rⁿ⁻¹ es el valor de un solo término — la n-ésima entrada de la sucesión. La suma parcial Sₙ suma los primeros n términos: Sₙ = a·(1 − rⁿ)/(1 − r) para r ≠ 1, o simplemente n·a cuando r = 1. Así, aₙ es un número de la lista, mientras que Sₙ es el total acumulado hasta ese punto.

### ¿Pueden ser negativos el primer término o la razón común?

Sí. El primer término a y la razón común r pueden ser cualquier número finito, incluyendo negativos y fracciones. Una razón negativa hace que los términos alteren su signo (por ejemplo 1, −2, 4, −8…). Las fórmulas cerradas manejan todos los casos; el único requisito para una suma finita hasta el infinito sigue siendo |r| < 1.

### ¿Por qué cambia la fórmula cuando r = 1?

La fórmula general de suma parcial Sₙ = a·(1 − rⁿ)/(1 − r) divide entre (1 − r), que es cero cuando r = 1. En ese caso cada término es igual a a, por lo que la suma es simplemente n copias de a: Sₙ = n·a. La calculadora detecta r = 1 y utiliza este caso especial automáticamente.

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## Sources

- https://mathworld.wolfram.com/GeometricSeries.html
- https://en.wikipedia.org/wiki/Geometric_series

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