# জ্যামিতিক ধারার যোগফল — n-তম পদ ও S∞

> a·rⁿ⁻¹ দিয়ে n-তম পদ, আংশিক যোগফল Sₙ এবং |r|<1 হলে a/(1−r) অসীম যোগফল নির্ণয় করুন — সম্পূর্ণ সমাধানসহ।

- **Category:** গণিত
- **Interactive calculator:** https://youcalc.com/bn/math/geometric-series-sum/
- **Price:** Free, no sign-up required

## Overview

এই ক্যালকুলেটর জ্যামিতিক ধারার সাথে কাজ করে — একটি অনুক্রম যেখানে প্রতিটি পদ আগের পদকে একটি নির্দিষ্ট সাধারণ অনুপাত r দিয়ে গুণ করে পাওয়া যায়, প্রথম পদ a থেকে শুরু হয়ে। a, r এবং পদসংখ্যা n দিন এবং তাৎক্ষণিকভাবে n-তম পদ aₙ, প্রথম n পদের আংশিক যোগফল Sₙ এবং যখন ধারা অভিসারী হয় তখন অসীম যোগফল S∞ দেখুন।

## How to read your result

ফলাফলের কার্ডে উপরে প্রথম n পদের আংশিক যোগফল Sₙ দেখায়। তার নিচে n-তম (শেষ) পদ aₙ = a·rⁿ⁻¹ এবং অসীম যোগফল রয়েছে। অসীম যোগফল একটি নির্দিষ্ট সংখ্যা শুধুমাত্র তখনই যখন |r| < 1, কারণ এটিই শর্ত যে পদগুলো যথেষ্ট দ্রুত শূন্যের দিকে সংকুচিত হবে এবং মোট যোগফল স্থির হবে; |r| ≥ 1 হলে ধারাটি অপসারী হয় এবং ক্যালকুলেটর বিভ্রান্তিকর সংখ্যা না দিয়ে সেটাই জানায়। নিচের বিস্তারিত সমাধান প্রতিটি বদ্ধ সূত্রে আপনার মান বসিয়ে প্রতিটি ধাপ অনুসরণ করতে সাহায্য করে।

## Method

n-তম পদ বদ্ধ সূত্র aₙ = a·rⁿ⁻¹ দিয়ে গণনা করা হয়। আংশিক যোগফল r ≠ 1 এর জন্য Sₙ = a·(1 − rⁿ)/(1 − r) ব্যবহার করে, শূন্য দিয়ে ভাগ এড়াতে r = 1 হলে Sₙ = n·a তে ফিরে যায়। অসীম যোগফল S∞ = a/(1 − r) শুধুমাত্র |r| < 1 হলে জানানো হয়, যা জ্যামিতিক ধারার সম্মত অভিসরণ শর্ত; অন্যথায় ক্যালকুলেটর একটি মান মুদ্রণের পরিবর্তে ধারাটি অপসারী বলে জানায়। এই সূত্র এবং অভিসরণ নিয়ম Wolfram MathWorld এবং Wikipedia-তে নথিভুক্ত।

## Example

- **Setup:** a = 1, r = 2, n = 10 দিন (ধারা 1 + 2 + 4 + … + 512)।
- **Result:** n-তম পদ a₁₀ = 1·2⁹ = 512 এবং আংশিক যোগফল S₁₀ = 1·(1 − 2¹⁰)/(1 − 2) = 1023। যেহেতু |r| = 2 ≥ 1, ধারাটি অপসারী, তাই কোনো অসীম যোগফল নেই। r = 0.5 তে পরিবর্তন করুন এবং অসীম যোগফল হয় a/(1 − r) = 1/0.5 = 2।

## Frequently asked questions

### জ্যামিতিক ধারার অসীম যোগফল কখন থাকে?

জ্যামিতিক ধারা একটি নির্দিষ্ট অসীম যোগফলে অভিসারী হয় শুধুমাত্র তখন যখন সাধারণ অনুপাত |r| < 1 শর্ত পূরণ করে। সেক্ষেত্রে S∞ = a/(1 − r)। যখন |r| ≥ 1 — r = 1 এবং r = −1 সহ — পদগুলো শূন্যের দিকে সংকুচিত হয় না, আংশিক যোগফল বাড়তে বা দোদুল্যমান হতে থাকে এবং কোনো নির্দিষ্ট মোট নেই; ধারাটিকে অপসারী বলা হয়।

### n-তম পদ এবং আংশিক যোগফলের মধ্যে পার্থক্য কী?

n-তম পদ aₙ = a·rⁿ⁻¹ হলো একটি একক পদের মান — অনুক্রমের n-তম প্রবিষ্টি। আংশিক যোগফল Sₙ প্রথম n পদ একসাথে যোগ করে: r ≠ 1 এর জন্য Sₙ = a·(1 − rⁿ)/(1 − r), অথবা r = 1 হলে শুধু n·a। তাই aₙ তালিকার একটি সংখ্যা, আর Sₙ হলো সেই বিন্দু পর্যন্ত সঞ্চিত মোট।

### প্রথম পদ বা সাধারণ অনুপাত কি ঋণাত্মক হতে পারে?

হ্যাঁ। প্রথম পদ a এবং সাধারণ অনুপাত r যেকোনো নির্দিষ্ট সংখ্যা হতে পারে, ঋণাত্মক এবং ভগ্নাংশ সহ। ঋণাত্মক অনুপাত পদগুলোর চিহ্ন পরিবর্তন করে (উদাহরণ 1, −2, 4, −8…)। বদ্ধ সূত্রগুলো প্রতিটি ক্ষেত্রে কাজ করে; নির্দিষ্ট অসীম যোগফলের জন্য একমাত্র শর্ত এখনও |r| < 1।

### r = 1 হলে সূত্র কেন পরিবর্তন হয়?

সাধারণ আংশিক যোগফলের সূত্র Sₙ = a·(1 − rⁿ)/(1 − r) (1 − r) দিয়ে ভাগ করে, যেটি r = 1 হলে শূন্য হয়। সেক্ষেত্রে প্রতিটি পদ a এর সমান, তাই যোগফল হলো a এর n কপি: Sₙ = n·a। ক্যালকুলেটর r = 1 শনাক্ত করে এবং স্বয়ংক্রিয়ভাবে এই বিশেষ ক্ষেত্র ব্যবহার করে।

## Related calculators

- [সমান্তর প্রগতি ক্যালকুলেটর](https://youcalc.com/bn/math/arithmetic-progression-calculator/)
- [ঘাত ক্যালকুলেটর](https://youcalc.com/bn/math/exponent-calculator/)
- [চক্রবৃদ্ধি সুদ ক্যালকুলেটর](https://youcalc.com/bn/finance-money/compound-interest/)
- [শতকরা ক্যালকুলেটর](https://youcalc.com/bn/math/percentage/)
- [গোল্ডেন রেশিও ক্যালকুলেটর](https://youcalc.com/bn/math/golden-ratio-calculator/)

## Sources

- https://mathworld.wolfram.com/GeometricSeries.html
- https://en.wikipedia.org/wiki/Geometric_series

---

Interactive version: https://youcalc.com/bn/math/geometric-series-sum/ · From YouCalc — https://youcalc.com