# সমান্তর প্রগতি ক্যালকুলেটর — n-তম পদ ও যোগফল

> প্রথম পদ, সাধারণ অন্তর ও পদ সংখ্যা থেকে n-তম পদ এবং সমান্তর শ্রেণির যোগফল বের করুন — সূত্র ও ধাপসহ। বিনামূল্যে।

- **Category:** গণিত
- **Interactive calculator:** https://youcalc.com/bn/math/arithmetic-progression-calculator/
- **Price:** Free, no sign-up required

## Overview

সমান্তর প্রগতি (বা সমান্তর অনুক্রম) হলো সংখ্যার এমন একটি তালিকা যেখানে প্রতিটি পদ পূর্ববর্তী পদে একটি নির্দিষ্ট পরিমাণ — সাধারণ অন্তর d — যোগ করে পাওয়া যায়। এই ক্যালকুলেটরে প্রথম পদ a₁, সাধারণ অন্তর d এবং কতটি পদ চান (n) তা দিন, এবং এটি n-তম পদ aₙ, সেই n পদের যোগফল Sₙ এবং অনুক্রমের একটি পূর্বদর্শন দেবে। ক্রমবর্ধমান (ধনাত্মক d), হ্রাসমান (ঋণাত্মক d) এবং স্থির (d = 0) অনুক্রমের জন্য কাজ করে, পদগুলো পূর্ণ বা ভগ্নাংশ যাই হোক।

## How to read your result

বড় সংখ্যাটি হলো যোগফল Sₙ — প্রথম n পদ একসাথে যোগ করলে যা পাওয়া যায়। পাশে রয়েছে n-তম পদ aₙ, যা সেই সিরিজের শেষ পদের মান। অনুক্রমের পূর্বদর্শনে প্রারম্ভিক পদগুলো ক্রমানুসারে তালিকাবদ্ধ থাকে যাতে আপনি এক নজরে প্যাটার্ন দেখতে পারেন; n বড় হলে পূর্বদর্শন সীমিত হয়, কিন্তু aₙ সবসময় দেখায় অনুক্রম কোথায় শেষ হয়। ধাপে ধাপে সমাধান প্যানেল আপনার সংখ্যাগুলো দুটি সূত্রে বসিয়ে প্রতিটি ধাপ হাতে যাচাই করার সুযোগ দেয়।

## Method

সমান্তর প্রগতিতে n-তম পদ হলো aₙ = a₁ + (n − 1)·d, কারণ আপনি a₁ থেকে শুরু করে n-তম অবস্থানে পৌঁছাতে মোট (n − 1) বার সাধারণ অন্তর d যোগ করেন। প্রথম n পদের যোগফল — একটি সমান্তর শ্রেণি — হলো পদ সংখ্যা গুণ প্রথম ও শেষ পদের গড়: Sₙ = n·(a₁ + aₙ) / 2। aₙ প্রতিস্থাপন করে সমতুল্য বন্ধ রূপ পাওয়া যায়: Sₙ = n/2·(2·a₁ + (n − 1)·d)। পদ সংখ্যা n একটি ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা হতে হবে; a₁ এবং d যেকোনো বাস্তব সংখ্যা হতে পারে, ঋণাত্মক এবং ভগ্নাংশসহ।

## Example

- **Setup:** প্রথম পদ a₁ = 2, সাধারণ অন্তর d = 3, এবং n = 10 পদ।
- **Result:** অনুক্রমটি হলো 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29। দশম পদ a₁₀ = 2 + (10 − 1)·3 = 29, এবং দশটি পদের যোগফল S₁₀ = 10·(2 + 29) / 2 = 155।

## Frequently asked questions

### n-তম পদ এবং যোগফলের মধ্যে পার্থক্য কী?

n-তম পদ aₙ হলো একটি একক মান — অনুক্রমের n অবস্থানের সংখ্যা — যা aₙ = a₁ + (n − 1)·d দিয়ে পাওয়া যায়। যোগফল Sₙ প্রথম থেকে n-তম পদ পর্যন্ত সব পদ যোগ করে: Sₙ = n·(a₁ + aₙ) / 2। a₁ = 2, d = 3, n = 10 এর জন্য দশম পদ 29, আর দশটি পদের যোগফল 155।

### সাধারণ অন্তর কীভাবে বের করবো?

সাধারণ অন্তর d হলো যেকোনো পদ ও তার আগের পদের মধ্যকার ব্যবধান, তাই একটি পদ থেকে তার পরবর্তী পদ বিয়োগ করুন: d = a₂ − a₁ = a₃ − a₂, এবং এভাবে চলতে থাকে। পরপর পদগুলোর মধ্যে যদি ধ্রুবক ব্যবধান না থাকে, তাহলে অনুক্রমটি সমান্তর নয়। ধনাত্মক d ক্রমবর্ধমান অনুক্রম দেয়, ঋণাত্মক d হ্রাসমান অনুক্রম দেয়, এবং d = 0 স্থির অনুক্রম দেয় যেখানে প্রতিটি পদ a₁ এর সমান।

### সাধারণ অন্তর বা পদগুলো কি ঋণাত্মক বা ভগ্নাংশ হতে পারে?

হ্যাঁ। প্রথম পদ a₁ এবং সাধারণ অন্তর d যেকোনো বাস্তব সংখ্যা হতে পারে — ঋণাত্মক, শূন্য বা ভগ্নাংশ। a₁ = 5 এবং d = −2 দিয়ে অনুক্রম হ্রাস পায়: 5, 3, 1, −1, …। শুধু পদ সংখ্যা n সীমাবদ্ধ: এটি অবশ্যই 1 বা তার বেশি পূর্ণ সংখ্যা হতে হবে, কারণ পদের ভগ্নাংশ সংখ্যা থাকতে পারে না।

### যোগফলের সূত্র কেন n·(a₁ + aₙ) / 2?

প্রথম পদকে শেষ পদের সাথে, দ্বিতীয় পদকে শেষ থেকে দ্বিতীয় পদের সাথে জোড়া বাঁধলে, প্রতিটি জোড়ার যোগফল একই a₁ + aₙ হয়। এরকম n/2টি জোড়া আছে, তাই যোগফল n·(a₁ + aₙ) / 2 — এই কৌশলটি কার্ল ফ্রিডরিখ গাউসের নামে প্রচলিত, যিনি নাকি 1 থেকে 100 পর্যন্ত সংখ্যার যোগ 50টি জোড়ায় ভাগ করে, প্রতিটি জোড়ার যোগফল 101 করে, মোট 5050 পেয়েছিলেন।

## Related calculators

- [জ্যামিতিক ধারার যোগফল](https://youcalc.com/bn/math/geometric-series-sum/)
- [ঘাত ক্যালকুলেটর](https://youcalc.com/bn/math/exponent-calculator/)
- [দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধানকারী](https://youcalc.com/bn/math/quadratic-equation/)
- [গোল্ডেন রেশিও ক্যালকুলেটর](https://youcalc.com/bn/math/golden-ratio-calculator/)
- [বৃত্ত ক্যালকুলেটর](https://youcalc.com/bn/math/circle-calculator/)
- [শতকরা ক্যালকুলেটর](https://youcalc.com/bn/math/percentage/)

## Sources

- https://mathworld.wolfram.com/ArithmeticSeries.html
- https://en.wikipedia.org/wiki/Arithmetic_progression

---

Interactive version: https://youcalc.com/bn/math/arithmetic-progression-calculator/ · From YouCalc — https://youcalc.com