# حاسبة نظام المعادلات — 2×2 و3×3 مع الخطوات

> حل أنظمة المعادلات الخطية 2×2 و3×3 بقاعدة كرامر والمحدّد. اعرف الحل الوحيد، أو ما إذا كان النظام بلا حل أو بعدد لا نهائي من الحلول، مع رسم بياني.

- **Category:** الرياضيات
- **Interactive calculator:** https://youcalc.com/ar/math/system-of-equations/
- **Price:** Free, no sign-up required

## Overview

تحلّ هذه الحاسبة أنظمة المعادلات الخطية من الحجم 2×2 أو 3×3، وتخبرك ما إذا كان النظام يملك حلًّا وحيدًا، أو لا يملك أيَّ حل، أو يملك ما لا نهاية من الحلول. استخدمها للتحقّق من الواجبات، أو التحقّق من الحلول اليدوية، أو استكشاف كيف يغيّر تعديل معامل موقع تقاطع الخطوط أو المستويات.

## How to read your result

تُظهر بطاقة النتيجة الحلّ الدقيق (x وy وربما z) أو تصنيف النظام — حل وحيد، أو لا حل، أو حلول لانهائية. وأسفل البطاقة يعرض التحليل التدريجي محدّد المصفوفة المعاملية وكيفية استخراج كل متغيّر بقاعدة كرامر. وفي أنظمة 2×2 يرسم مخطّط المستوى الإحداثي الخطَّين لترى تقاطعهما بوضوح.

## Method

يستخرج المحلّل مصفوفة المعاملات n×n ووشيحة الثوابت b من صفوف الإدخال. يحسب det(A) بالتوسّع عبر المرافقات (تُحدَّد البسوط بقاعدة كرامر باستبدال كل عمود من A بـb). يُحدَّد تصنيف النظام بمقارنة رتبة A مع رتبة المصفوفة المعزّزة [A|b] عبر حذف غاوس مع الإزاحة الجزئية: رتبة(A) = رتبة([A|b]) = n تعني حلًّا وحيدًا، ورتبة(A) = رتبة([A|b]) < n تعني حلولًا لانهائية، ورتبة(A) < رتبة([A|b]) تعني لا حلّ. المصادر: Wolfram MathWorld؛ Khan Academy.

## Example

- **Setup:** أدخِل النظام 2×2: المعادلة الأولى x + y = 5، والثانية x - y = 1 (المعاملات 1، 1، 5 و1، -1، 1).
- **Result:** محدّد مصفوفة المعاملات هو -2. وبقاعدة كرامر: x = -6 / -2 = 3، وy = -4 / -2 = 2، فالحل الوحيد هو x = 3، y = 2. ويُظهر الرسم البياني تقاطع الخطَّين عند (3، 2).

## Frequently asked questions

### ماذا يعني أن يكون المحدّد صفرًا؟

يعني المحدّد الصفري أن المعادلات غير مستقلّة. تتحقّق الحاسبة حينئذٍ من المصفوفة المعزّزة: إن تساوت رتبتها مع رتبة مصفوفة المعاملات فالخطوط (أو المستويات) متطابقة ويوجد ما لا نهاية من الحلول؛ وإن اختلفت الرتبتان فالنظام متناقض ولا حلّ له.

### ما هي قاعدة كرامر ومتى تُطبَّق؟

تعبّر قاعدة كرامر عن كل متغيّر كنسبة محدّدَين — يستبدل البسط عمود المتغيّر في مصفوفة المعاملات بحدود الثابتة، بينما المقام هو محدّد مصفوفة المعاملات. وتنطبق فقط حين يكون المحدّد غير صفري، أي حين يوجد حل وحيد.

### هل يمكنني حل نظام معاملاته كسرية أو عشرية؟

نعم. تقبل كل خلية معاملات أي عدد عشري منتهٍ. يعمل المحلّل بالحساب العائم ذي الدقة المزدوجة مع تسامح صغير للمحاور القريبة من الصفر، فتكون النتائج دقيقة لمسائل الواجبات النموذجية والأنظمة الهندسية ذات التهيئة الجيدة.

## Related calculators

- [حاسبة المصفوفات](https://youcalc.com/ar/math/matrix-operations/)
- [حاسبة المعادلة التربيعية](https://youcalc.com/ar/math/quadratic-equation/)
- [حاسبة الميل ومعادلة الخط المستقيم](https://youcalc.com/ar/math/slope-line-equation/)

## Sources

- https://mathworld.wolfram.com/LinearSystemofEquations.html
- https://www.khanacademy.org/math/algebra/x2f8bb11595b61c86:systems-of-equations/x2f8bb11595b61c86:solving-systems-elimination/a/elimination-method-review

---

Interactive version: https://youcalc.com/ar/math/system-of-equations/ · From YouCalc — https://youcalc.com