# حاسبة مجموع المتتالية الهندسية — الحد n ومجموع اللانهاية

> احسب الحد n وفق a·rⁿ⁻¹، والمجموع الجزئي Sₙ، ومجموع اللانهاية a/(1−r) عندما |r|<1. يعرض الحل والتقارب بالتفصيل.

- **Category:** الرياضيات
- **Interactive calculator:** https://youcalc.com/ar/math/geometric-series-sum/
- **Price:** Free, no sign-up required

## Overview

تعمل هذه الحاسبة مع المتتالية الهندسية — وهي متتالية يكون كل حد فيها حاصل ضرب الحد السابق في نسبة أساسية ثابتة r، بدءاً من حد أول a. أدخل a وr وعدد الحدود n لترى فوراً الحد n (أي aₙ)، ومجموع الحدود n الأولى Sₙ، ومجموع اللانهاية S∞ عندما تتقارب المتتالية.

## How to read your result

تعرض بطاقة النتائج المجموع الجزئي Sₙ للحدود n الأولى في الأعلى، ثم الحد n الأخير aₙ = a·rⁿ⁻¹ ومجموع اللانهاية. مجموع اللانهاية يكون عدداً منتهياً فقط عندما |r| < 1، لأن ذلك هو شرط تقلص الحدود نحو الصفر بشكل كافٍ؛ أما إذا كانت |r| ≥ 1 فتتشعب المتتالية وتوضح الحاسبة ذلك بدلاً من طباعة قيمة مضللة. يستبدل الحل المفصّل أدناه قيمك في كل صيغة حتى تتابع كل خطوة.

## Method

يُحسب الحد n بالصيغة المغلقة aₙ = a·rⁿ⁻¹. يستخدم المجموع الجزئي Sₙ = a·(1 − rⁿ)/(1 − r) لـ r ≠ 1، وينتقل إلى Sₙ = n·a عندما r = 1 تفادياً للقسمة على صفر. مجموع اللانهاية S∞ = a/(1 − r) يُعلن فقط عندما |r| < 1، وهو شرط التقارب القياسي للمتتالية الهندسية؛ وإلا أفادت الحاسبة بأن المتتالية تتشعب بدلاً من طباعة قيمة. هذه الصيغ وقاعدة التقارب موثقة في ويكيبيديا وMathWorld.

## Example

- **Setup:** أدخل a = 1، r = 2، n = 10 (المتتالية 1 + 2 + 4 + … + 512).
- **Result:** الحد n هو a₁₀ = 1·2⁹ = 512 والمجموع الجزئي S₁₀ = 1·(1 − 2¹⁰)/(1 − 2) = 1023. بما أن |r| = 2 ≥ 1 تتشعب المتتالية ولا يوجد مجموع لانهاية. غيّر إلى r = 0.5 ليصبح مجموع اللانهاية a/(1 − r) = 1/0.5 = 2.

## Frequently asked questions

### متى تمتلك المتتالية الهندسية مجموعاً لانهائياً؟

تتقارب المتتالية الهندسية إلى مجموع لانهائي منتهٍ فقط عندما تحقق النسبة الأساسية |r| < 1. في هذه الحالة S∞ = a/(1 − r). عندما |r| ≥ 1 — بما في ذلك r = 1 وr = −1 — لا تتقلص الحدود نحو الصفر، وتستمر المجاميع الجزئية في النمو أو التذبذب، ولا يوجد مجموع منتهٍ، وتُسمى المتتالية متشعبة.

### ما الفرق بين الحد n والمجموع الجزئي؟

الحد n هو aₙ = a·rⁿ⁻¹، أي قيمة حد واحد — الإدخال n في المتتالية. أما المجموع الجزئي Sₙ فهو جمع الحدود n الأولى معاً: Sₙ = a·(1 − rⁿ)/(1 − r) لـ r ≠ 1، أو n·a عندما r = 1. إذن aₙ هو عدد واحد من القائمة، بينما Sₙ هو المجموع التراكمي حتى تلك النقطة.

### هل يمكن أن يكون الحد الأول أو النسبة الأساسية سلبيين؟

نعم. يمكن أن يكون الحد الأول a والنسبة الأساسية r أي أعداد منتهية، بما فيها السالبة والكسرية. النسبة السالبة تجعل الحدود تتناوب في الإشارة (مثلاً 1، −2، 4، −8…). الصيغ المغلقة تتعامل مع جميع الحالات؛ الشرط الوحيد لمجموع لانهائي منتهٍ هو |r| < 1.

### لماذا تتغير الصيغة عندما r = 1؟

الصيغة العامة للمجموع الجزئي Sₙ = a·(1 − rⁿ)/(1 − r) تقسم على (1 − r)، وهو صفر عندما r = 1. في هذه الحالة كل حد يساوي a، فيصبح المجموع ببساطة n نسخة من a: Sₙ = n·a. تكتشف الحاسبة r = 1 وتستخدم هذه الحالة الخاصة تلقائياً.

## Related calculators

- [حاسبة المتتالية الحسابية](https://youcalc.com/ar/math/arithmetic-progression-calculator/)
- [حاسبة الأسس](https://youcalc.com/ar/math/exponent-calculator/)
- [حاسبة الفائدة المركبة](https://youcalc.com/ar/finance-money/compound-interest/)
- [حاسبة النسبة المئوية](https://youcalc.com/ar/math/percentage/)
- [حاسبة النسبة الذهبية](https://youcalc.com/ar/math/golden-ratio-calculator/)

## Sources

- https://mathworld.wolfram.com/GeometricSeries.html
- https://en.wikipedia.org/wiki/Geometric_series

---

Interactive version: https://youcalc.com/ar/math/geometric-series-sum/ · From YouCalc — https://youcalc.com