# حاسبة المتتالية الحسابية — الحد النوني والمجموع

> احسب الحد النوني ومجموع المتتالية الحسابية من الحد الأول والأساس وعدد الحدود — مع عرض الصيغة وخطوات الحل. مجاني.

- **Category:** الرياضيات
- **Interactive calculator:** https://youcalc.com/ar/math/arithmetic-progression-calculator/
- **Price:** Free, no sign-up required

## Overview

المتتالية الحسابية (أو المتتالية العددية الحسابية) هي مجموعة من الأعداد يُضاف فيها إلى كل حد مقدار ثابت يُسمى الأساس d للحصول على الحد التالي. أدخل في هذه الحاسبة الحد الأول a₁ والأساس d وعدد الحدود n، وستحصل على الحد النوني aₙ ومجموع تلك الحدود Sₙ ومعاينة للمتتالية. تعمل مع المتتاليات التصاعدية (d موجب) والتنازلية (d سالب) والثابتة (d = 0)، سواء كانت الحدود صحيحة أو كسرية.

## How to read your result

الرقم الكبير هو المجموع Sₙ — أي ناتج جمع الحدود الـ n الأولى معًا. بجانبه يظهر الحد النوني aₙ وهو قيمة الحد الأخير في تلك المجموعة. تعرض معاينة المتتالية الحدود الأولى بالترتيب حتى تتضح لك النمط دفعة واحدة؛ وعند كبر n تُقيَّد المعاينة، غير أن aₙ يبقى ظاهرًا ليدل على نهاية المتتالية. تُعوِّض لوحة الحل التفصيلي أرقامك في الصيغتين كي تتحقق من كل خطوة بنفسك.

## Method

في المتتالية الحسابية، الحد النوني هو aₙ = a₁ + (n − 1)·d، لأنك تبدأ من a₁ وتُضيف الأساس d مجموع (n − 1) مرة للوصول إلى الموضع n. أما مجموع أول n حد — المتسلسلة الحسابية — فهو عدد الحدود مضروبًا في متوسط الحد الأول والأخير: Sₙ = n·(a₁ + aₙ) / 2. وبتعويض aₙ تحصل على الصورة المغلقة المكافئة: Sₙ = n/2·(2·a₁ + (n − 1)·d). يجب أن يكون عدد الحدود n عددًا صحيحًا موجبًا؛ أما a₁ وd فيمكن أن يكونا أي أعداد حقيقية بما فيها السالبة والكسرية.

## Example

- **Setup:** الحد الأول a₁ = 2، والأساس d = 3، وعدد الحدود n = 10.
- **Result:** المتتالية هي 2، 5، 8، 11، 14، 17، 20، 23، 26، 29. الحد العاشر هو a₁₀ = 2 + (10 − 1)·3 = 29، ومجموع الحدود العشرة هو S₁₀ = 10·(2 + 29) / 2 = 155.

## Frequently asked questions

### ما الفرق بين الحد النوني والمجموع؟

الحد النوني aₙ هو قيمة واحدة — الرقم الموجود في الموضع n من المتتالية — ويُحسب بالصيغة aₙ = a₁ + (n − 1)·d. أما المجموع Sₙ فيجمع كل الحدود من الأول إلى النوني: Sₙ = n·(a₁ + aₙ) / 2. في المثال a₁ = 2 وd = 3 وn = 10، الحد العاشر هو 29 بينما مجموع الحدود العشرة هو 155.

### كيف أجد الأساس المشترك؟

الأساس d هو الفرق بين أي حد والحد الذي يسبقه، أي اطرح حدًا من التالي له: d = a₂ − a₁ = a₃ − a₂، وهكذا. إذا لم تكن الفجوة بين الحدود المتتالية ثابتة فالمتتالية ليست حسابية. الأساس الموجب يعطي متتالية تصاعدية، والسالب متتالية تنازلية، وعند d = 0 تكون جميع الحدود متساوية وتساوي a₁.

### هل يمكن أن يكون الأساس أو الحدود سالبة أو كسرية؟

نعم. يمكن أن يكون الحد الأول a₁ والأساس d أي أعداد حقيقية — سالبة أو صفرًا أو كسرية. عند a₁ = 5 وd = −2 تتناقص المتتالية: 5، 3، 1، −1، … . فقط عدد الحدود n مقيَّد: يجب أن يكون عددًا صحيحًا لا يقل عن 1، إذ لا يمكن أن يكون عدد الحدود كسرًا.

### لماذا صيغة المجموع هي n·(a₁ + aₙ) / 2؟

بتزاوج الحد الأول مع الأخير، والثاني مع ما قبل الأخير، وهكذا، فإن كل زوج يعطي مجموعًا ثابتًا هو a₁ + aₙ. عدد هذه الأزواج n/2، فيكون المجموع n·(a₁ + aₙ) / 2 — الحيلة المنسوبة إلى كارل فريدريش غاوس، الذي يُقال إنه جمع الأعداد من 1 إلى 100 على شكل 50 زوجًا مجموع كل زوج 101 ليصل إلى 5050.

## Related calculators

- [حاسبة مجموع المتتالية الهندسية](https://youcalc.com/ar/math/geometric-series-sum/)
- [حاسبة الأسس](https://youcalc.com/ar/math/exponent-calculator/)
- [حاسبة المعادلة التربيعية](https://youcalc.com/ar/math/quadratic-equation/)
- [حاسبة النسبة الذهبية](https://youcalc.com/ar/math/golden-ratio-calculator/)
- [حاسبة الدائرة](https://youcalc.com/ar/math/circle-calculator/)
- [حاسبة النسبة المئوية](https://youcalc.com/ar/math/percentage/)

## Sources

- https://mathworld.wolfram.com/ArithmeticSeries.html
- https://en.wikipedia.org/wiki/Arithmetic_progression

---

Interactive version: https://youcalc.com/ar/math/arithmetic-progression-calculator/ · From YouCalc — https://youcalc.com